Scientific Committee
Comité scientifique
Christoph Aistleitner (Graz University of Technology)
Régis de la Bretèche (Université Paris Cité)
Cécile Dartyge (Univerté de Lorraine)
Igor Shparlinski (University of New South Wales)
Lola Thompson (Utrecht University)
Organizing Committee
Comité d’organisation
Christian Elsholtz (Graz University of Technology)
Alina Ostafe (University of New South Wales)
Joël Rivat (Aix-Marseille Université)
Cathy Swaenepoel (Université de Paris)
Thomas Stoll (Université de Lorraine)
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Analytic number theory has seen many important breakthroughs in recent years, as documented by the Fields medals by Bourgain, Tao, Venkatesh, and most recently by Maynard (2022). Often, random and deterministic phenomena play an important role in problems in analytic number theory, and fruitful interactions with the area of dynamical system can be observed. One of the most striking open conjectures in the area of “arithmetic randomness” is Sarnak’s conjecture. It states that the Möbius function is orthogonal to any sequence that is realized in a deterministic dynamical system and resembles the behaviour of a random sequence. While still open in its full generality, considerable progress has been obtained with respect to special classes of sequences. We mention the solution of the conjecture by Müllner for automatic sequences which, informally speaking, are sequences that relate the value of its terms to the digits of its base-q representation. Sarnak’s conjecture is closely related to Chowla’s conjecture that, in turn, studies the correlations of the Möbius function. In recent years, various breakthroughs have been obtained in these areas. We mention the results by Green and Tao concerning the orthogonality of nilsequences, by Frantzikinakis and Host on the logarithmic Sarnak conjecture for zero entropy topological systems with only countably many ergodic measures, by Green and Bourgain concerning the computational complexity of the Möbius function, and many more. Bourgain and Swaenepoel considered the number of prime numbers and squares with preassigned digits, and Maynard obtained the count of prime numbers with restricted digits. The proofs often rely on a variety of tools ranging from analytic number theory, probability theory, Diophantine considerations, and dynamical systems.
The major aim of the conference is to gather people working on “randomness” properties of prime numbers, including both international and French mathematicians, and to provide an environment for scientific exchanges to foster new collaborations, especially with the younger participants. The conference has an overlap with the French–Austrian joint project ArithRand supported by the ANR and the FWF. It is a thematic broadening of the conference “Prime numbers, determinism and pseudorandomness” that was held at CIRM (4–8 November, 2019).
La théorie analytique des nombres a connu ces dernières années des développements retentissants comme l’illustrent les médailles Fields de Bourgain, Tao, Venkatesh et plus récemment de Maynard. Les phénomènes aléatoires et déterministes ont une place importante dans ce domaine. La conjecture de Sarnak est l’un des problèmes ouverts les plus remarquables dans le champ de “l’aléa arithmétique”. Elle énonce que la fonction de Möbius est orthogonale à toute suite issue d’un système dynamique déterministe et qu’elle a un comportement similaire à celui d’une suite aléatoire. Bien que cette conjecture sous sa forme la plus générale soit toujours une question ouverte, des progrès considérables ont été réalisés pour certaines classes de suites. Nous mentionnons ici la résolution de cette conjecture par Müllner pour les suites automatiques qui sont des suites dont les valeurs dépendent des chiffres en base q des rangs des termes de la suite. La conjecture de Sarnak est étroitement liée à celle de Chowla relative aux corrélations de la fonction de Möbius. Ces dernières années plusieurs percées spectaculaires ont été obtenues sur ces sujets : résultats de Green et Tao sur l’orthogonalité des nilsuites, preuve par Frantzikinakis et Host de la conjecture logarithmique de Sarnak pour les systèmes topologiques d’entropie nulle avec seulement un nombre dénombrable de mesures ergodiques, avancées de Green et Bourgain sur le calcul de la complexité de la fonction de Möbius et bien d’autres résultats. Bourgain et Swaenepoel ont considéré le problème du nombre de premiers et du nombre de carrés avec des chiffres préassignés, Maynard celui des premiers avec des chiffres manquants. Les preuves reposent sur différentes méthodes provenant de la théorie analytique des nombres, de la géométrie des nombres, des probabilités, des considérations diophantiennes et des systèmes dynamiques.
L’objectif principal de cette conférence est de réunir des chercheurs travaillant sur les propriétés aléatoires des nombres premiers, des mathématiciens internationaux ou de France et de fournir un environnement propice à des échanges scientifiques et de nouvelles collaborations tout particulièrement pour les jeunes participants. Cette conférence est en chevauchement avec le projet Franco-Autrichien ArithRand soutenu par l’ANR et le FWF respectivement, et est un élargissement thématique de la conférence “Nombres premiers, déterminisme et pseudoaléa” qui a eu lieu au CIRM du 4 au 8 novembre 2019.
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