La théorie analytique des nombres a connu ces dernières années des développements retentissants comme l’illustrent les médailles Fields de Bourgain, Tao, Venkatesh et plus récemment de Maynard. Les phénomènes aléatoires et déterministes ont une place importante dans ce domaine. La conjecture de Sarnak est l’un des problèmes ouverts les plus remarquables dans le champ de “l’aléa arithmétique”. Elle énonce que la fonction de Möbius est orthogonale à toute suite issue d’un système dynamique déterministe et qu’elle a un comportement similaire à celui d’une suite aléatoire. Bien que cette conjecture sous sa forme la plus générale soit toujours une question ouverte, des progrès considérables ont été réalisés pour certaines classes de suites. Nous mentionnons ici la résolution de cette conjecture par Müllner pour les suites automatiques qui sont des suites dont les valeurs dépendent des chiffres en base q des rangs des termes de la suite. La conjecture de Sarnak est étroitement liée à celle de Chowla relative aux corrélations de la fonction de Möbius. Ces dernières années plusieurs percées spectaculaires ont été obtenues sur ces sujets : résultats de Green et Tao sur l’orthogonalité des nilsuites, preuve par Frantzikinakis et Host de la conjecture logarithmique de Sarnak pour les systèmes topologiques d’entropie nulle avec seulement un nombre dénombrable de mesures ergodiques, avancées de Green et Bourgain sur le calcul de la complexité de la fonction de Möbius et bien d’autres résultats. Bourgain et Swaenepoel ont considéré le problème du nombre de premiers et du nombre de carrés avec des chiffres préassignés, Maynard celui des premiers avec des chiffres manquants. Les preuves reposent sur différentes méthodes provenant de la théorie analytique des nombres, de la géométrie des nombres, des probabilités, des considérations diophantiennes et des systèmes dynamiques.
L’objectif principal de cette conférence est de réunir des chercheurs travaillant sur les propriétés aléatoires des nombres premiers, des mathématiciens internationaux ou de France et de fournir un environnement propice à des échanges scientifiques et de nouvelles collaborations tout particulièrement pour les jeunes participants. Cette conférence est en chevauchement avec le projet Franco-Autrichien ArithRand soutenu par l’ANR et le FWF respectivement, et est un élargissement thématique de la conférence “Nombres premiers, déterminisme et pseudoaléa” qui a eu lieu au CIRM du 4 au 8 novembre 2019.