Au travers de l’invariance par un groupe de transformation, la géométrie a été un moteur dan de nombreux domaines de la physique au cours du siècle dernier. Au cours des deux dernières décennies, avec l’augmentation exponentielle des données géométriques non linéaires à analyser dans de nouveaux domaines tels que l’imagerie biomédicale, le besoin de principes d’invariance dans leur analyse statistique et leur modélisation s’est intensifié. Plusieurs bibliothèques logicielles ont été développées récemment pour traiter des données géométriques et topologiques, montrant que les sciences géométriques sont en réalité très actives. Cette conférence vise à reconnaître et à explorer les intersections et les synergies entre de nombreux domaines impliquant les sciences géométriques et leurs applications.
   Les espaces de formes apparaissent naturellement en considérant des classes d’objets comme des points dans un espace global abstrait. Les objets eux-mêmes peuvent être des formes géométriques lisses mais très plissées (comme la surface du cerveau), des formes arborescentes (comme les arbres vasculaires) ou même des graphes (comme dans la connectomique cérébrale). On peut alors considérer des classes d’équivalence d’objets sous l’action d’un groupe sur l’espace ambiant ou par changement de paramétrisation, par exemple pour les courbes et les surfaces, ce qui conduit à des espaces non linéaires. Comprendre les structures possibles pour l’espace de forme associé est un véritable défi : la conception et l’ étude de métriques riemanniennes ont attiré l’attention d’une partie croissante de la communauté ces dernières années. Cela implique souvent une géométrie différentielle dimensionnelle infinie. Prendre en compte la structure de stratification naturelle apparaissant dans les espaces quotients est également un aspect importante qui soulève l’intérêt actuel pour les structures stratifiées métriques et riemanniennes.
   La modélisation de la variabilité des populations de formes conduit naturellement à développer la théorie statistique des objets vivant sur des espaces géometriques. Des exemples typiques incluent la modélisation statistique des formes et des déformations d’organes résultant de la segmentation et du recalage d’images dans la population de sujets. Les méthodes de statistiques géométriques ont utilisé jusqu’à présent des notions de distance, de plus court chemin et de géodésique dans les variétés riemanniennes lisses. Comprendre comment généraliser ces méthodes à des espaces quotients stratifiés est un nouveau défi. Afin d’obtenir des probabilités d’observation, il est également naturel de considérer des chemins stochastiques sur des variétés au lieu d’un seul plus court chemin géodésique. Ces nouveaux modèles stochastiques devraient bénéficier de synergies avec la mécanique géométrique stochastique et les processus stochastiques sur les variétés.