RESEARCH IN RESIDENCE
Lefschetz properties for complete intersections
Propriétés de Lefschetz pour les intersections complètes
13 – 17 July, 2026
Participants
Mats Boij (KTH Royal Institute of Technology)
Juan Migliore (University of Notre Dame)
Rosa Maria Miró-Roig (University of Barcelona)
Uwe Nagel (University of Kentucky)
The Weak and Strong Lefschetz Properties (collectively “the Lefschetz Properties”) represent a very natural and desirable feature for artinian graded algebras. They give a description of how multiplication behaves for these algebras. Specifically, a general linear form should act with maximal rank. With roots in topology, the Lefschetz Properties have been deeply studied by researchers in many fields, including different aspects of combinatorics, algebraic geometry and commutative algebra, as well as topology.
The area of Lefschetz Properties has been a hot topic recently. There has been a series of international conferences on this subject in the last decade or so, including the conference “Lefschetz Properties in Algebra, Geometry and Combinatorics II” at CIRM in 2019. More precisely, they have been held in Hawaii (2012), G¨ottingen (2015), Banff (2016), the MittagLeffler Institute (2017), Levico (Italy, 2018), CIRM-Luminy (2019), Oberwolfach (hybrid, 2020), Cortona (Italy, 2022), the Fields Institute (Toronto, 2023), and Krakow (2024). There are already plans for conferences in Nordfjordeid (Norway, 2025) and Ischia (Italy, 2026). It is an important topic that spans many areas, and these conferences have brought together researchers with different perspectives, leading to surprising collaborations and unexpected new directions.
One of the most important areas where Lefschetz Properties have been studied is that of complete intersections. The current group of researchers has produced some of the strongest results in this direction. Currently, they are proposing the continuation of a very geometric approach to this algebraic topic (the study of the multiplication by linear forms on a graded algebra) that they introduced recently. The idea is to produce certain curves in projective space, connect the Lefschetz properties of a given complete intersection to properties of the general hyperplane section, and prove that the general hyperplane section does in fact have these properties (or at least a close approximation of them).
The ultimate objective is to prove that every complete intersection, in arbitrarily many variables, has both the Weak Lefschetz Property and the Strong Lefschetz Property. This is certainly too ambitious with present means. The specific goal of this proposal is to prove that the multiplication just described has maximal rank in as large a range of degrees as possible. Results by these researchers (together with others) has made nice headway in relatively few variables, and the goal is to extend these methods, introducing new ideas along the way, to more variables, or eventually arbitrarily many variables.
Les propriétés de Lefschetz faible et forte (collectivement appelées « propriétés de Lefschetz ») représentent une caractéristique naturelle et souhaitable pour les algèbres graduées artiniennes. Elles décrivent le comportement de la multiplication pour ces algèbres. Plus précisément, une forme linéaire générale devrait agir avec un rang maximal. Ayant leurs racines en topologie, les propriétés de Lefschetz ont été étudiées en profondeur par des chercheurs de nombreux domaines, notamment différents aspects de la combinatoire, de la géométrie algébrique et de l’algèbre commutative, ainsi que de la topologie.
Le domaine des propriétés de Lefschetz a récemment suscité un vif intérêt. Une série de conférences internationales ont été consacrées à ce sujet au cours de la dernière décennie, notamment la conférence « Propriétés de Lefschetz en algèbre, géométrie et combinatoire II » au CIRM en 2019. Plus précisément, ces conférences ont eu lieu à Hawaï (2012), Göttingen (2015), Banff (2016) et à l’Institut Mittag-Leffler. (2017), Levico (Italie, 2018), CIRM-Luminy (2019), Oberwolfach (hybride, 2020), Cortona (Italie, 2022), le Fields Institute (Toronto, 2023) et Cracovie (2024). Des conférences sont déjà prévues à Nordfjordeid (Norvège, 2025) et Ischia (Italie, 2026). Il s’agit d’un sujet important qui couvre de nombreux domaines, et ces conférences ont réuni des chercheurs aux perspectives différentes, donnant lieu à des collaborations surprenantes et à de nouvelles orientations inattendues.
L’un des principaux domaines d’étude des propriétés de Lefschetz est celui des intersections complètes. Le groupe de chercheurs actuel a produit des résultats parmi les plus probants dans ce domaine. Ils proposent actuellement la poursuite d’une approche très géométrique de ce sujet algébrique (l’étude de la multiplication par des formes linéaires sur une algèbre graduée) qu’ils ont récemment introduite. L’idée est de produire certaines courbes dans l’espace projectif, de relier les propriétés de Lefschetz d’une intersection complète donnée aux propriétés de la section hyperplane générale, et de prouver que cette section possède effectivement ces propriétés (ou du moins une approximation proche de celles-ci).
L’objectif ultime est de prouver que toute intersection complète, en un nombre arbitraire de variables, possède à la fois la propriété de Lefschetz faible et la propriété de Lefschetz forte. C’est certainement trop ambitieux avec les moyens actuels. L’objectif spécifique de ce projet est de prouver que la multiplication décrite précédemment possède un rang maximal dans une plage de degrés aussi large que possible. Les résultats de ces chercheurs (avec d’autres) ont permis des avancées notables pour un nombre relativement restreint de variables, et l’objectif est d’étendre ces méthodes, en introduisant de nouvelles idées au fur et à mesure, à davantage de variables, voire à un nombre arbitraire de variables.
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