The theory of G-structures allows one to study a large class of geometric structures – structures that, historically speaking, were conceived in very different ways – in a single unified framework. The only piece of data that varies from one structure to another is the Lie group G that acts as the linear model. Symplectic structures, complex structures, Riemannian structures and foliations are just but a few of the structures that fit into this framework. There is, however, one class of structures that stands out as an exception – contact structures.
Contact structures play a role in the mathematical formulation of classical mechanics and their study dates back to Sophus Lie in the 19th century and earlier. In modern day mathematics, contact topology is a flourishing field that runs in parallel to the field of symplectic topology. Contact structures are regarded as the odd-dimensional counterpart of symplectic structures, and the two exhibit a large number of similarities. It is, therefore, surprising that contact structures do not fit into the theory of G-structures.
Our project aims to provide a solution for this anomaly by taking advantage of a simple “trick” known as the symplectization trick, in which out of a given contact structure one constructs a “homogeneous” symplectic structure on a space of one dimension higher, where homogeneous means that the symplectic structure varies linearly along the extra dimension. This trick led us to the idea of defining the notion of a homogeneous G-structure, a slight generalization of the usual notion of a G-structure which naturally encompasses contact structures. Having this new notion in place, our current goals are to develop a theory of obstructions to integrability in analogy to the one for usual G-structures, and to study further examples that require the extra homogeneous property.

La théorie des G-structures nous permet d’étudier d’un point de vue unifié une large classe de structures géométriques qui, historiquement, furent introduites de manières très diverses. L‘unique donnée qui varie d’une structure à l’autre est celle du groupe de Lie G, agissant comme modèle linéaire. Structures symplectiques, complexes, Riemanniennes et feuilletages sont quelques unes des structures qu‘il est ainsi possible de traiter de cette manière. Il existe cependant une classe de structures qui apparaît comme une exception: les structures de contact.
Les structures de contact jouent un rôle fondamental dans la formulation mathématique de la mécanique classique, et leur étude remonte à Sophus Lie au 19e siècle et même avant. Dans la mathématique moderne, la topologie de contact est un domaine florissant qui se développe en parallèle à la topologie symplectique. La notion de structure de contact peut être considérée comme l’équivalent en dimension impaire des structures symplectiques, et en partage bon nombre de similarités. Il est donc surprenant que les structures de contact ne soient pas incluses dans la théorie des G-structures.
L’objectif de ce projet est de fournir une solution à cette anomalie, en se basant sur une simple astuce, connue sous le nom de symplectisation: étant donnée une structure de contact, on construit une structure symplectique dans un espace avec une dimension de plus, et homogène dans le sens où la structure varie de façon linéaire le long de cette dimension nouvelle. Cette astuce nous conduit à la notion de G-structure homogène, une généralisation de la notion usuelle de G-structure qui englobe naturellement les structures de contact. Avec ces idées en place, notre but actuel c’est de développer une théorie d’obstruction à l’intégrabilité comme celle qui existe pour les G-structures classiques, et étudier des exemples qui requièrent cette homogénéité additionnelle.