We consider the semidiscrete stochastic heat equation on the lattice Z d , d ≥ 3, with a small noise term that is white in time. The goal of this project is to show that the equation admits a global solution whose distribution attracts solutions with initial conditions in a certain class, both in the forward and in the pullback sense. Determining how broad this class of initial conditions can be is one important aspect. Our approach is inspired by an article of Yuri Kifer, who, in 1997, studied the stochastic heat equation, continuous in space and equipped with a spatially smooth noise. Via the Feynman–Kac formula, the study of the stochastic heat equation naturally leads to directed polymers in a random environment, a classical model in statistical mechanics that is closely related to several random growth models and was originally introduced to study Ising models with impurities. In his article, Kifer derives forward and pullback attraction to the stationary distribution for solutions whose initial condition is stationary and square-integrable with respect to the noise. His proof relies on a factorization formula for partition functions of the associated polymer model. The idea for the factorization formula goes back at least to Sinai, who established it for a polymer model that is discrete in both space and time. The formula features an error term δ(x, t) that is known to converge to zero uniformly in kxk . t 1 2 as t → ∞. Careful estimates on the Green’s function for simple symmetric random walk communicated to us by Nazarov should allow us to extend this convergence to kxk . t α for any α < 1. This tighter control on the error term may let us not only recover Kifer’s result in our setting, but also prove uniqueness of the global solution within a larger class of random functions.

​Nous étudions l’équation de la chaleur stochastique sur Z d , d ≥ 3, munie d’un petit bruit gaussien dans le temps. L’objectif de ce projet de recherche est de montrer que l’équation admet une solution globale dont la distribution attire les solutions avec condition initiale dans une certaine classe. Un aspect important de ce projet est de déterminer la taille de cette classe de conditions initiales admissibles. Notre stratégie est inspirée d’un article de Yuri Kifer, qui, en 1997, étudia l’´equation de la chaleur stochastique, dans un espace continu et avec un bruit régulier dans l’espace. A travers la formule de Feynman–Kac, l’analyse de l’équation de la chaleur stochastique aboutit naturellement au modèle des polymers orientés dans un environnement aléatoire, un modèle classique en méchanique statistique qui est ´étroitement lié à plusieurs modèles de croissance aléatoire et qui était initialement proposé afin d’étudier des modèles d’Ising avec impuretés. Dans son article, Kifer montre que les solutions dont la condition initiale est stationnaire et dans L 2 par rapport au bruit sont attirées par la distribution stationnaire. Sa preuve utilise une formule de factorisation pour des fonctions de partition du modèle de polymers associé à l’EDPS. Une telle formule de factorisation était aussi utilisée par Sinai, qui l’établit pour un modèle de polymers en temps discret. La formule contient une erreur δ(x, t) qui converge vers zéro uniformément en kxk . t 1 2 quand t → ∞. Des estimés de la fonction de Green pour la marche aléatoire simple et symétrique devraient nous permettre de montrer cette convergence même pour kxk . t α pour chaque α < 1. Ce contrôle amélioré sur l’erreur va possiblement nous mettre en mesure de montrer l’unicité de la solution globale dans une classe de fonctions aléatoires plus vaste que celle obtenue par Kifer.