​Anne Laure Dalibard (Sorbonne Université)
Isabelle Gallagher (Université Paris-Diderot & ENS Paris)
Grzegorz Karch (University of Wroclaw)
Ping Zhang (Chinese Academy of Sciences)

Frédéric Charve (Université Paris-Est Créteil)
Raphaël Danchin (Université Paris-Est Créteil)
Boris Haspot (Université Paris-Dauphine)
Sylvie Monniaux (Aix-Marseille Université)

The PDEs modelling mixtures and the nonhomogeneous fluids arise naturally in numerous applications linked to  the industry, the biology and the environment : distribution of pollutants, problems of sedimentation, etc. One of the major difficulties both from  numerical and theoretical viewpoints is the evolution of a fluid presenting a jump of density along a curve of the plan or along a surface of the space (it can be seen as a toy model for a mixture of two fluids). This kind of problem can be tackled by two approaches almost orthogonal : technics of type ” free boundaries ” where we focus on the equation governing the evolution of the interface, or ”the global” approach consisting in solving the equation on all the domain, but in a functional setting containing discontinuous functions along an interface.

This conference will be the opportunity to make the state of the art on this subject which knew a considerable development since about fifteen years. Very diverse techniques were used going of simple estimates of energy to the analysis of Fourier (decomposition of Littlewood- Paley in particular) and to the theory of the analytical semi-groups and the maximal regularity. We hope that this conference will allow to present without taboo the tools of analysis coming into play in the study of the EDP (such as the equations of incompressible Navier-Stokes with variable density, or compressible Navier Stokes, the equations of Korteweg, Euler-Korteweg, etc.) modeling the nonhomogeneous fluids, and to propose new angles of attack.

Three mini-courses of 4 1/2 hours, and eighteen 40 minutes presentations by junior and senior researchers are scheduled. The conference will be more widely opened to another thirty participants that are interested in the theme, but do not wish to give a talk.

– A first mini-course given by Peer Christian Kunstmann (Karlsruhe university) will propose a panorama of the theory of the semi-groups and the properties of maximal regularity for the equations of parabolic type.
– The second mini-course, more forward-looking, will be dispensed by Pascal Auscher (CNRS, Université de Picardie Jules Verne) and will present very recent tools of harmonic analysis likely to give a new lighting to the study of the equations of Navier-Stokes type.
– Finally, the third mini-course, given by Sergey Gavrilyuk (Aix-Marseille Université) will concern the modelling of fluid-fluid  diffuse interfaces.

Accommodation and full board is offered to all participants.

Les EDP modélisant les mélanges et les fluides non homogènes interviennent naturellement dans de nombreuses applications liées à l’industrie, la biologie et l’environnement : propagation de polluants, problèmes de sédimentation, etc. Une des difficultés majeures tant d’un point de vue numérique que d’un point de vue théorique est celle de l’évolution d’un fluide présentant un saut de densité le long d’une courbe du plan ou d’une surface de l’espace (cela peut être vu comme un modèle jouet pour un mélange de deux fluides). Ce genre de problème peut être abordé par deux approches presque orthogonales : techniques de type “frontières libres” où l’on se concentre sur l’équation régissant l’évolution de l’interface, ou approche “globale” consistant à résoudre l’équation sur tout le domaine du mélange de fluides, mais dans un espace fonctionnel contenant les fonctions discontinues le long d’une interface.

Cette conférence sera l’occasion de faire l’état de l’art sur ce sujet qui a connu un essor considérable depuis une quinzaine d’années. Des techniques très diverses ont été utilisées allant de simples estimations d’énergie à l’analyse de Fourier (décomposition de Littlewood- Paley notamment) et à la théorie des semi-groupes analytiques et régularité maximale. Nous comptons sur cette conférence pour présenter sans tabou les outils d’analyse entrant en jeu dans l’étude des EDP (telles que les équations de Navier-Stokes  incompressible à densité  variable, ou de Navier Stokes compressible, les équations de Korteweg, Euler-Korteweg, etc.) modélisant les fluides non homogènes, et proposer de nouveaux angles d’attaque.

La conférence comporte trois mini-cours de 4 1/2 heures, et dix-huit exposés de 40 minutes donnés par des chercheurs juniors ou seniors. La conférence sera ouverte plus largement à une trentaine de participants supplémentaires intéressés par la thématique, mais ne souhaitant pas donner d’exposé.

– Un premier mini-cours donné par Peer Christian Kunstmann (Université de  Karlsruhe) dressera un panorama de la théorie des semi-groupes et des propriétés de régularité maximale pour les équations de type parabolique.
– Un deuxième mini-cours, plus prospectif, sera dispensé par Pascal Auscher (CNRS, Université de Picardie Jules Verne) et présentera des outils très récents d’analyse harmonique susceptibles de donner un éclairage nouveau à l’étude des équations de type Navier-Stokes.
– Enfin, le troisième mini-cours, donné par Sergey Gavrilyuk (Aix-Marseille Université) portera plus sur l’aspect modélisation des interfaces diffuses fluide-fluide et fluide-solide.

Le séjour en pension complète est offert à tous les participants.