Conjecture de Han et homologie de Hochschild
6 – 17 May 2019
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Han’s conjecture is a challenge in non commutative algebra. It states that the Hochschild homology of an associative finite dimensional algebra should “control the intrinsic complication” of the algebra. More precisely, if the Hochschild homology is zero in high enough degrees, then the algebra should be smooth (that is the algebra should be of finite projective dimension).
This conjecture has been proven for some families of algebras and note that its converse is easily proved. This conjecture is related to the finitistic conjecture of H. Bass. On the other hand, if Han’s conjecture where true, an important property would follow for Hochschild homology: it has been proven that it would be either concentrated in degree 0, or non-zero in infinitely many degrees. We are going to pursue our work on this conjecture, by considering square extension algebras, to prove that under precise circumstances an inductive step can be settled. Namely if the diagonal algebras of a square extension are in the class of algebras verifying Han’s conjecture, then the square extension belongs to this class. |
La conjecture de Han est un défi en algèbre non commutative. Elle indique que l’homologie de Hochschild d’une algèbre associative de dimension finie devrait « contrôler la complication intrinsèque » de l’algèbre. Plus précisément, si l’homologie de Hochschild est nulle en degrés assez grands, alors l’algèbre devrait être lisse (c’est-à-dire que l’algèbre devrait être de dimension projective finie).
Cette conjecture a été prouvée pour certaines familles d’algèbres, noter que sa réciproque est facilement démontrée. Cette conjecture est liée à la conjecture finitiste de H. Bass. D’autre part, si la conjecture de Han était vraie, alors il en découlerait une propriété importante de l’homologie de Hochschild: il a été prouvé qu’elle serait alors soit concentrée en degré 0, soit non nulle en une infinité de degrés. Nous allons poursuivre notre travail sur cette conjecture, en considérant des algèbres à extension carrée, pour prouver que dans des circonstances précises une étape inductive peut être réglée. A savoir si les algèbres diagonales d’une extension carrée sont dans la classe des algèbres vérifiant la conjecture de Han, alors l’extension carrée appartient à cette classe. |
Claude Cibils (IMAG UM Montpellier)
Marcelo Américo Lanzilotta Mernies (IMERL UdelaR Montevideo)
Eduardo do Nascimento Marcos (IME USP São Paulo)
Andrea Solotar (DM UBA Buenos Aires Argentina)
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