Les automates finis forment une classe de machines de Turing particulièrement rudimentaires. En théorie des nombres, ils peuvent être utilisés pour définir de manière naturelle des suites et des ensembles dits « automatiques ». L’un des principaux intérêts de ces structures automatiques est qu’elles jouissent d’une grande régularité sans être triviales. Elles peuvent donc être considérées comme se situant quelque part entre ordre et chaos, bien qu’à de nombreux égards elles apparaissent comme essentiellement régulières. Cette caractéristique particulière des structures automatiques conduit à diverses applications de la théorie des automates à la théorie des nombres. L’une des plus célèbres est fournie par un théorème de Cobham de 1969. Ce résultat classique formalise en termes d’automates finis l’idée naïve suivante : alors qu’il est facile de décider à partir de son développement binaire si un nombre naturel est une puissance de 2, il n’existe pas de test aussi simple pour dériver cette information à partir de son développement ternaire ou décimal. Il est intéressant de noter que les idées pionnières de Cobham ont donné lieu à une grande variété de travaux portant sur divers sujets (théorie des modèles, pavages, fractales, théorie des nombres, équations aux différences, analyse). 

Notre objectif principal est d’aller au-delà du théorème de Cobham en considérant la question générale suivante : peut-on estimer la taille de l’intersection de deux ensembles automatiques associés à deux bases multiplicativement indépendantes ? Des cas particuliers de cette question ont été considérés par divers mathématiciens, dont Gelfond, Erdös et Furstenberg. Ils conduisent généralement à des problèmes ouverts difficiles et une grande variété de techniques semble nécessaire pour les aborder, telles que l’analyse de Fourier d’ordre supérieur, les systèmes dynamiques ou l’approximation diophantienne.