Algébrabilité en dynamique linéaire
22-26 January 2018
|
Linear dynamics studies the dynamical behaviour of operators on Banach or Fréchet spaces. A central notion is that of a hypercyclic vector, that is, a vector with a dense orbit. It is well known that the set of hypercyclic vectors always contains a dense linear subspace, except for zero, and that it sometimes contains a closed infinite dimensional subspace. If the underlying space is an algebra, the question naturally arises if the set of hypercyclic vectors contains a subalgebra, except for zero.
This line of research was proposed by Richard Aron in the 2000’s. First results appeared between 2007 and 2010, with a negative answer for the translation operator and a positive answer for the differentiation operator, both on the space of entire functions. In 2015, the problem was taken up by two teams of researchers, one in the USA, the other one in Belgium. The two teams worked independently until the summer of 2017 and obtained various results that partially overlapped, but that pursued very different directions. In particular, two questions of R. Aron were solved. The purpose of the Research in Pairs is for the two teams to join forces. It is intended to discuss the present state of the research on algebrability in linear dynamics, to exchange ideas on new open problems, and to attack some of these problems. |
La dynamique linéaire étudie le comportement dynamique des opérateurs agissant sur des espaces de Banach ou de Fréchet. Une notion centrale dans ce domaine est celle de vecteur hypercyclique, qui qualifie tout vecteur à orbite dense. Il est maintenant bien connu que l’ensemble des vecteurs hypercycliques, bien qu’irrégulier, contient tout de même un sous-espace linéaire dense, à l’exception de zéro, et qu’il contient parfois un sous-espace fermé de dimension infinie. Dans le cas particulier où l’espace ambiant possède une structure plus riche, en particulier une structure d’algèbre, il devient alors naturel de se demander si l’ensemble des vecteurs hypercycliques contient alors une sous-algèbre, à l’exception de zéro.
Cette question a été proposée par Richard Aron dans les années 2000. De premiers résultats apparaissaient entre 2007 et 2010, avec une réponse négative pour l’opérateur de translation sur l’espace des fonctions entières, et une réponse positive pour l’opérateur de différentiation sur le même espace. En 2015, deux équipes de chercheurs, aux Etats-Unis et en Belgique, ont commencé à travailler sur ce projet. Les deux équipes travaillaient de façon indépendante jusqu’à l’été 2017. En particulier, deux questions de R. Aron ont déjà été résolues. Le but de la Recherche en Binôme est de réunir les deux équipes. Nous allons discuter de l’état actuel des recherches sur l’algébrabilité en dynamique linéaire, échanger des idées sur différents problèmes ouverts, et attaquer quelques-uns de ces problèmes. |
Juan Bès (Bowling Green State University)
Romuald Ernst (Université du Littoral Côte d’Opale)
Javier Falcó (University of Valencia)
Karl Grosse-Erdmann (Université de Mons)
Dimitris Papathanasiou (Université de Mons)
Sponsor
