“Duality” is a topic present throughout modern mathematics in many different ways and in many different contexts. It is tempting to call it an archetype of mathematical thinking, comparable to “analogy” or “symmetry”. Indeed, duality has a long history beginning with the duality of Platonic solids and spherical and projective geometry, going all the way to category theory and related fields, via mathematical logic, lattice theory, algebraic topology, linear algebra, functional analysis, or again Abelian groups. Emerge two core questions: which are the common features (if any) of these different manifestations? What are the foundations of dualities and how are they ensured? Despite duality’s clear importance in the history of modern mathematics, no general definition of the term is yet available, and both a systematic study of its occurrences and a comprehensive study of its history are still missing. Our aim is to tackle the problem of a definition of the term “duality” at least in its historical dimension. Our historical questions include: When, how, and why has the term “duality” (proposed by Gergonne in 1825-26) prevailed over competing terminologies (reciprocity, polarity, correlation, adjoint/conjoint)? Which role was played by the chosen forms of representation (such as Gergonne’s notation in columns, symmetry in formulae or coordinates, arrow-diagram notation)? How are the individual dualities historically connected with each other? Can we identify “missing links”? How was the knowledge about duality diffused? We will also reflect upon the different stages of the development of mathematics in general and examine the characteristic methods and basic ideas of each period in relation to the notion of duality. Without a priori specifications on what and how one is supposed to understand duality, we will develop a collective reflection covering large areas in the history of mathematics and seizing duality in all its historical significance.​

La « dualité » est un sujet présent à travers les mathématiques modernes sous de nombreux aspects et dans de nombreux contextes. Il est tentant de la désigner comme un archétype de la pensée mathématique, comparable à l’analogie ou la symétrie. En effet, la dualité a une longue histoire, qui commence par la dualité des solides platoniciens et dans la géométrie sphérique et projective, et va jusqu’à la théorie des catégories, en passant par la logique mathématique, la théorie des treillis, la topologie algébrique, l’algèbre linéaire, l’analyse fonctionnelle, ou les groupes abéliens. Se posent alors deux questions centrales : quelles sont les propriétés communes (si elles existent) de ces différentes manifestations ? Quelles sont les fondations des dualités et comment sont-elles assurées ? Malgré l’importance de la dualité dans l’histoire des mathématiques modernes, aucune définition générale du terme n’a encore été fournie. De plus, manquent toujours une étude systématique de ses occurrences et une étude exhaustive de son histoire. Notre but est de nous attaquer, au moins du point de vue historique, à la question de la définition du terme « dualité ». Nos questions historiques comprennent les suivantes : quand, comment et pourquoi le terme « dualité » (proposé par Gergonne en 1825-26) a-t-il prévalu sur les terminologies concurrentes (réciprocité, polarité, corrélation, adjoint/conjoint) ? Quel rôle les formes de représentations choisies, comme les notations en colonnes de Gergonne, la symétrie dans les formules ou coordonnées, la notation avec des flèches, ont-elles joué ? Comment les dualités individuelles sont-elles historiquement connectées les unes aux autres ? Peut-on identifier des « chaînons manquants » ? Comment les connaissances sur la dualité se sont-elles diffusées ? Nous nous intéresserons également aux différents stages de développement des mathématiques en général, et examinerons les méthodes caractéristiques et les idées fondamentales de chaque période en relation avec la notion de dualité. Sans spécifier a priori ce que l’on est supposé comprendre par « dualité », nous développerons une réflexion collective qui couvrira de larges pans de l’histoire des mathématiques et saisira la dualité dans toute son importance historique.