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Alexei Pantchichkine (Université Grenoble Alpes)
To use graded structures [KrVu87], [Vu01] on differential operators and arithmetical automorphic forms on classical groups and show that these structures provide a tool to construct p-adic measures and p-adic L-functions on the corresponding non-archimedean weight spaces up to the General Admissible case.
Using Doubling Method and Eisenstein Measure on Shimura varieties attached to certain Classical groups. An approach to constructions of automorphic L-functions on unitary groups and their p-adic analogues is presented. For an algebraic group G over a number field K these L functions are certain Euler products L(s, π, r, χ). In particular, our constructions cover the L-functions in [Shi00] via the doubling method of Piatetski-Shapiro and Rallis. A p-adic analogue of L(s, π, r, χ) is a p-adic analytic function Lp(s, π, r, χ) of p-adic arguments s ∈ Zp, χ mod pr which interpolates algebraic numbers defined through the normalized critical values L∗(s, π, r, χ) of the corresponding complex analytic L-function.
Construction of p-adic L-functions for certain Classical groups in the ordinary case was achieved by the Work of Harris, Li and Skinner p-adic L-functions for unitary Shimura varieties and Construction of the Eisenstein measure. By E.E.Eischen Building on more recent results, construction of Eisenstein measures and p-adic differential operators. Calculations of local ζ -integrals occurring in the Euler product (including at p). Formalism needed to pair Eisenstein measures with Hida families in the setting of the doubling method.
Approaching the General Admissible case Combining the techniques of Yubo Jin with that of Anh Tuan DO and Krasner-Vuković graded structures, allows to approach the General Admissible case.
Conclusion and application to Newton and Hodge Polygons “Utilisation of the Newton / Hodge polygons for the p-adic L-functions. Clarification to a question by Robert Langlands (the « magic square » of Langlands, see link below p.5) and the Panchishkin condition)”.
Utiliser des structures graduées de M. Krasner et M. Vukovic sur des opérateurs différentiels et arithmétiques automorphes sur les formes de groupes classiques et démontrer que ces structures fournissent un outil pour construire des mesures p-adiques des fonctions L p-adiques sur les espaces de poids non-archimédiennes correspondants, dans cas général admissible (Y. Amice).
Utilisation de la méthode de doublement et de la mesure d’Eisenstein sur les variétés de Shimura attachées à certains groupes classiques. Nous présentons une approche très récente des constructions des fonctions L automorphes sur des groupes unitaires et leurs analogues p-adiques. Pour un groupe algébrique G sur un corps de nombres K, ces fonctions L complexes sont certains produits de Euler L(s, π, r, χ). En particulier, nos constructions couvrent les fonctions L (Shimura, 2000) via le doublement et la méthode de Piatetski-Shapiro et Rallis, tandis que les fonctions L p-adiques sont analogues padique de L(s, π, r, χ) et une fonction analytique p-adique Lp(s, π, r, χ) des arguments p-adiques Zp, χ mod pr qui interpole les nombres algébriques définis par les valeurs critiques normalisées L (s, π, r, χ) de la fonction L analytique complexe correspondante.
La construction de fonctions L p-adiques pour certains groupes classiques dans le cas ordinaire a été réalisée par les travaux de Eischen, Harris, Li et Skinner : fonctions L p-adiques pour les
variétés unitaires de Shimura et la construction de la mesure Eisenstein (publié en 2020).
– Se fondant sur les résultats plus récents de E. Eischen, construction des mesures d’Eisenstein et des opérateurs différentiels p-adiques.
– Calcul des intégrales locales se produisant dans le produit Euler (y compris à p).
– Le formalisme doit coupler les mesures d’Eisenstein avec les familles de Hida dans le cadre de la méthode du doublement.
Une approche possible du cas général admissible : combiner les techniques de Yubo Jin avec celles de Anh Tuan Do et Krasner-Vukovic pour les structures graduées permet d’aborder le cas général admissible.
Conclusion et application aux polygones de Newton et Hodge « Utilisation des polygones de Newton / Hodge pour les fonctions L p-adiques. Clarification à une question de Robert Langlands, le « carré magique » de Langlands et la « condition de Panchishkin » (d’après la terminologie de Ralph Greenberg).