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RESEARCH IN RESIDENCE

Companion forms for GSp4
Formes compagnons pour GSp4

9 – 20 December, 2024

Participants

Chi-Yun Hsu (Santa Clara University)
Bharathwaj Palvannan (Indian Institute of Science, Bangalore)

There is a well-known classification of cuspidal eigenforms, distinguishing CM (complex multiplication) forms from non-CM forms. Subsequently, there have been many well-known problems asking if one can classify whether a cuspidal eigenform f has CM or not, solely based on arithmetic data associated to f. Greenberg and Coleman independently asked for a local characterization of the global property of a cuspidal Hecke eigenform f having CM. While Greenberg’s conjecture studies the shape of the local Galois representation attached to f, Coleman’s conjecture involves the theta operator. More specifically, Coleman conjectured that f has CM if and only if it lies in the image of a suitable power of the theta operator. Such a conjectural local characterization is intimately connected to the theory of companion forms. While the theory of companion forms in characteristic p plays a key role in the weight aspect of Serre’s conjectures, Coleman’s local characterization allows us to naturally consider companion forms in characteristic 0.
We believe that the role played by CM forms in Coleman’s conjecture should be replaced by Yoshida lifts in the setting of Siegel cuspidal Hecke eigenforms of genus 2. In particular, the purpose of our project is to show that the Yoshida lifts lie in the image of a certain theta operator. Although companion forms and theta operators of in this setting of Siegel modular forms have  studied in characteristic p by numerous authors, the characteristic 0 story remains unexplored.

Il existe une classification bien connue des formes propres cuspidales, distinguant les formes CM (multiplication complexe) des formes non CM. Il y a eu de nombreux problèmes bien connus demandant comment on peut classifier si une forme propre cuspidale f a CM, uniquement selon les informations arithmétiques associées à f. Greenberg et Coleman ont demandé indépendamment une caractérisation locale de la propriété globale d’une forme propre de Hecke cuspidale f ayant CM. Alors que la conjecture de Greenberg étudie la forme de la représentation galoisienne locale attachée à f, la conjecture de Coleman utilise l’opérateur thêta. Plus précisément, Coleman a conjecturé que f a CM si et seulement s’il réside dans l’image d’une puissance appropriée de l’opérateur thêta. Une telle caractérisation locale conjecturale est intimement liée à la théorie des formes compagnons. Alors que la théorie des formes compagnons en caractéristique p joue un rôle clé dans l’aspect poids des conjectures de Serre, la caractérisation locale de Coleman permet naturellement de considérer les formes compagnons en caractéristique 0. Nous pensons que le rôle joué par les formes CM dans la conjecture de Coleman devrait être remplacé par les relèvements de Yoshida dans le cadre des formes propres de Hecke cuspidales de Siegel du genre 2. En particulier, le but de notre projet est de montrer que les relèvements de Yoshida se trouvent à l’image d’un certain opérateur thêta. Bien que les formes compagnons et les opérateurs thêta de dans ce cadre de formes modulaires de Siegel aient été largement étudiés dans la caractéristique p par de nombreux auteurs, l’histoire de caractéristique 0 reste inexplorée.

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