In this project we plan to extend some key ideas from differential geometry and Lie theory to the setting of a “good” tensor category. The class of good categories includes the standard tensor category Vec of vector spaces over k, categories of modules over a finite dimensional Lie algebra, several module categories arising naturally in algebraic geometry. Other more exotic examples include indizations of the Deligne interpolation categories and related categories constructed by Knop, Serganova and others (see [5, 8, 9]). The motivation for our project lies in the classical work of Cartan and Weil on equivariant cohomology, and its modern developments (see [4, ?, 2, 6, 7, 3, 1]). If G is a connected compact group and M a G-manifold, the equivariant cohomology HG(M) is the cohomology of M0/G, where M0 is a free G-manifold homotopically equivalent to M. Although such an M0 is typically infinite dimensional, HG(M) can also be computed algebraically using the Weil algebra. It turns out that concepts in equivariant cohomology can be formulated more generally in the categorical setting, where we prove a version of the Koszul theorem. This in turn allows us to generalize the Chern-Weil theorem and the Duflo isomorphism to the general setting.

References

[1] A. Alekseev and E. Meinrenken, Lie theory and the Chern-Weil homomorphism, Ann. Sc. Ecole. Norm. Sup.  38 (2005), p. 303–338.
[2] M. Atiyah and R. Bott, The moment map and equivariant cohomology, Topology 23 (1984), pp. 1-28.
[3] N. Berline and M. Vergne, Classes caractristiques équivariantes. Formules de localisation en cohomologie équivariante, C.R. Acad. Sci. Paris 295 (1982), pp. 539-541.
[4] H. Cartan, Notions d’algèbre différentielle; application aux groupes de Lie et aux variétés où opère un groupe de Lie. La transgression dans un groupe de Lie et dans un espace fibré principal in Colloque de topologie, CRBM, Bruxelles (1950). [
5] P. Deligne, La Cat´égorie des représentations du groupe symétrique St, lorsque t nest pas un entier naturel, in Proceedings of the International Colloquium on Algebraic Groups and Homogeneous Spaces, TIFR, Mumbai (2004).
[6] H. Duistermatt, Equivariant cohomology and stationary phase, Preprint 817, Univ. of Utrecht (1993).
[7] V. Guillemin, S. Sternberg, Supersymmetry and equivariant de Rham Theory, Springer Verlag, Heidelberg (1999).
[8] K. Knop, Tensor envelopes of regular categories, Adv. Math. 214 (2007), no. 2, 571617. 
[9] V. Serganova, Construction of abelian envelope for the Deligne categories Rep GL(t) for integer t

Pour ce projet, nous avons l’intention d’étendre certaines idées-clés en géométrie différentielle et théorie de Lie au cadre d’une “bonne” catégorie tensorielle. La classe des bonnes catégories contient la catégorie standard Vec des espaces vectoriels sur k, les catégories de modules sur algèbre de Lie de dimension finie, et plusieurs catégories de modules qui interviennent en géométrie algébrique. D’autres exemples plus exotiques sont l’ind-complétion des catégories d’interpolation de Deligne et des exemples analogues construits par Knop, Serganova et autres (voir [5, 8, 9]). Notre motivation provient des travaux classiques de Cartan et Weil sur la cohomologie équivariante, et ses développement récents (voir [4, 2, 6, 7, 3, 1]). Soit G un groupe compact connexe et M une G-variété, la cohomologie équivariante HG(M) est la cohomologie de M0/G, où M0 est une G-variété libre homotopiquement équivalente à M. Bien que M0 soit typiquement de dimension infinie, HG(M) peut être calculé algébriquement à l’aide de l’algèbre de Weil. Il se fait que les concepts de cohomologie équivariante peuvent être formulés plus généralement dans le contexte catégorique. Nous prouvons une version du théorème de Koszul, ce qui nous permet de généraliser le théorème de Chern-Weil et l’ismorphisme de Duflo dans ce cadre.

​References

[1] A. Alekseev and E. Meinrenken, Lie theory and the Chern-Weil homomorphism, Ann. Sc. Ecole. Norm. Sup.  38 (2005), p. 303–338.
[2] M. Atiyah and R. Bott, The moment map and equivariant cohomology, Topology 23 (1984), pp. 1-28.
[3] N. Berline and M. Vergne, Classes caractristiques équivariantes. Formules de localisation en cohomologie équivariante, C.R. Acad. Sci. Paris 295 (1982), pp. 539-541.
[4] H. Cartan, Notions d’algèbre différentielle; application aux groupes de Lie et aux variétés où opère un groupe de Lie. La transgression dans un groupe de Lie et dans un espace fibré principal in Colloque de topologie, CRBM, Bruxelles (1950). [
5] P. Deligne, La Cat´égorie des représentations du groupe symétrique St, lorsque t nest pas un entier naturel, in Proceedings of the International Colloquium on Algebraic Groups and Homogeneous Spaces, TIFR, Mumbai (2004).
[6] H. Duistermatt, Equivariant cohomology and stationary phase, Preprint 817, Univ. of Utrecht (1993).
[7] V. Guillemin, S. Sternberg, Supersymmetry and equivariant de Rham Theory, Springer Verlag, Heidelberg (1999).
[8] K. Knop, Tensor envelopes of regular categories, Adv. Math. 214 (2007), no. 2, 571617. 
[9] V. Serganova, Construction of abelian envelope for the Deligne categories Rep GL(t) for integer t