Microlocal Methods in Analysis and Geometry
Methodes microlocales en analyse et géométrie
6 – 10 May 2019
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Scientific Committee
Comité scientifique Nalini Anantharaman (Université de Strasbourg) |
Organizing Committee
Comité d’organisation Gilles Carron (Université de Nantes) |
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The philosophy of geometric microlocal analysis is neatly summarized as follows : Microlocal analysis is a geometric theory of distributions, or a theory of geometric distributions. Rather than study general distributions – which are like general continuous functions but worse – we consider more specific types of distributions which actually arise in the study of differential and integral equations. Distributions are usually defined by duality, starting from very “good” test functions; correspondingly a general distribution is everywhere “bad.” The conormal distributions we shall study are usually good, but like (other) people have a few interesting faults, i.e. singularities. These singularities are our principal target of study.
This appeared in the introduction to some unpublished lectures notes on the subject by Richard Melrose. The power and reach of this theory, as well as the numerous successful applications to other fields, can be found in two monographs by Melrose (The Atiyah-Patodi-Singer index theorem, 1993 and Geometric scattering theory, 1995) as well as countless research articles since the mid 1980’s by Melrose, his students, his and their collaborators, and an increasingly wide number of other researchers. Roughly speaking, this field was motivated originally by the fact that when studying operators on noncompact or singular spaces, or even on compact smooth spaces but with some sort of degenerating parameter (including a spectral parameter tending to infinity), then the off-diagonal behavior of the Schwartz kernel of the inverse of this operator plays a dominant role. To capture this off-diagonal behavior, one resolves the behaviour of the Schwartz kernel via a process of real blow-up. This lead initially to the introduction of Melrose’s “b-calculus” of pseudodifferential operators, followed later by many other more general calculi, each adapted to different geometric problems. Techniques stemming from the same set of ideas have led to very detailed and powerful understanding of various linear and nonlinear evolution problems. Perhaps the most impressive of these is the recent proof, by Hintz and Vasy, of the nonlinear stability of the Kerr de Sitter family of cosmological space-times. Vasy recently received the prestigious Bôcher prize for this and related work. We propose a workshop to bring together leading researchers involved in these lines of research as well as leading researchers working in closely related areas, to appraise the current state of knowledge and progress and to map out directions for future research. This meeting would fall in line with a series of similar meetings, held approximately every three years, at various leading research centers. |
L’analyse microlocale est une théorie géométrique des distributions ou une théorie des distributions géométriques. Plutôt que d’étudier les distributions en toutes généralités -qui sont comme des généralisations des fonctions continues mais en moins bien— nous considérons des classes spécifiques de distributions qui sont naturelles lorsqu’on étudie des équations différentielles ou intégrales. Les distributions sont généralement définies par dualité en partant d’une classe de très jolies fonctions tests ; les distributions correspondantes ont donc des singularités très moches. Les distributions conormales que nous étudions sont d’ordinaires assez jolies mais comme tout (autre) individu, elles ont quelques imperfections et péchés i.e. des singularités. Ces singularités sont le coeur de cible de notre recherche.
La puissance et la portée de cette théorie sont notamment rassemblées dans deux livres de références de R. Melrose : (The Atiyah-Patodi-Singer index theorem, 1993 et Geometric scattering theory, 1995). Depuis le milieu des années 80, R. Melrose, ses étudiants et ses collaborateurs et ensuite un nombre croissant d’autres chercheurs ont poussés plus loin les nombreuses applications de cette théorie dans de multiples branches des mathématiques. Ce domaine est motivé par le fait que lorsqu’on étudie des opérateurs sur des espaces non compactes ou singuliers, voir sur des jolies variétés lisses compactes mais qui dépendent d’un paramètre devenant singulier (par exemple un paramètre spectral tendant vers l’infini), alors le comportement du noyau de Schwartz de l’inverse de cet opérateur joue un rôle proéminent. Le comportement du noyau de Schwartz est alors encodé grâce à des éclatements de l’espace (et de l’espace des paramètres). La première occurence de cette idée est l’introduction par R. Melrose du “b-calcul” pour les opérateurs pseudodifférentiels et depuis d’autres calculs plus généraux ont été introduits et adaptés pour résoudre une grande variété de problèmes géométriques. Des techniques résultants de la mˆeme gamme d’idées ont aussi permis une compréhension très fine et détaillée de problèmes d’évolutions linéaires et non linéaires. Peut-être un des résultats les plus impressionnants dans cette direction est la preuve récente par Hintz et Vasy, de la stabilit´é non linéaire pour les espaces temps Kerr-de Sitter. Vasy a d’ailleurs reçu le prestigieux prix Bôcher pour ses travaux dans ce domaine et plus particulièrement ce résultat. Nous souhaitons organiser ce workshop afin de réunir les chercheurs les plus influents impliqués dans ce domaine ou sur des problématiques proches. Ceci afin de partager l’état de des connaissances, les résultats récents, les progrès en cours et de réfléchir et de formuler collectivement aux questions et directions qui déterminerons les orientations futures de ce domaine. Cette conférence est dans la lignée d’une série de rassemblements trisannuels similaires et sur des périmètres scientifiques renouvelés, qui se sont déroulés dans différents centres de recherches et de conférences. |
Dean Baskin (Texas A&M University) Diffraction for the Dirac equation by Coulomb-like potentials
Yaiza Canzani (University of North Carolina) Understanding the growth of Laplace eigenfunctions
Sergey Cherkis (University of Arizona) On Compactification of Monopole Wall Moduli Spaces
Tanya Christiansen (University of Missouri) Asymptotic location of resonances for Schrödinger operators on infinite cylinders
Frédéric Faure (Université Grenoble Alpes) Emergence of the quantum wave equation in classical deterministic hyperbolic dynamics
Lorenzo Foscolo (Heriot-Watt University) ALC manifolds with exceptional holonomy
Jesse Gell-Redman (University of Melbourne) Standing waves for the nonlinear Schrödinger equation
Jeffrey Galkowski (Northeastern University) Geodesic Beams in Eigenfunction Analysis
Robin Graham (University of Washington) Geodesic flow, X-ray transform, and boundary rigidity on asymptotically hyperbolic manifolds
Gerd Grubb (University of Copenhague) Pseudodifferential operators of fractional order and transmission spaces
Colin Guillarmou (Université Paris-Sud) On the marked length spectrum of Anosov manifolds
Peter Hintz (Massachusetts Institute of Technology) Linear stability of slowly rotating Kerr spacetimes
Varghese Mathai (University of Adelaide) Projective Elliptic genera and Elliptic Pseudodifferential general
Richard Melrose (Massachusetts Institute of Technology) Metrics and smooth compactifications
Michael Singer (University College London) Smooth gluing of fibred hyperkähler metrics
Alexander Strohmaier (University of Leeds) Feynman propagators, index theory, and spectral theory on space- times
Gunther Uhlmann (University of Washington & IAS HKUST) Lagrangian Intersection and Inverse Problems
Boris Vertman (University of Oldenburg) Resolvent asymptotics on stratified spaces
Fang Wang (Shanghai Jiao Tong University) Poincare-Einstein manifold, Yamabe invariants and Rigidity theorem
Steve Zelditch (Northwestern University) One can hear the shape of a nearly circular ellipse
Xuwen Zhu (University of California Berkeley) Constant curvature conical metrics
