A geometry with parallel skew-symmetric torsion is a Riemannian manifold carrying a metric connection with parallel skew-symmetric torsion. Besides the trivial case of the Levi-Civita connection, geometries with non-vanishing parallel skew-symmetric torsion arise naturally in several geometric contexts, e.g. on naturally reductive homogeneous spaces, nearly K¨ahler or nearly parallel G2-manifolds, Sasakian and 3-Sasakian manifolds, or twistor spaces over quaternion-K¨ahler manifolds with positive scalar curvature. In this project we intend study the local structure of Riemannian manifolds carrying a metric connection with parallel skew-symmetric torsion. Cleyton and Swann have shown that in the case of irreducible holonomy, every geometry with parallel skew-symmetric torsion is either naturally reductive homogeneous, or nearly K¨ahler of nearly parallel G2 in dimension 6 and 7 respectively. In the reducible case, on every geometry with parallel skew-symmetric torsion one can define a natural splitting of the tangent bundle which gives rise to a Riemannian submersion with homogeneous fibres over a geometry with parallel skew-symmetric torsion of smaller dimension endowed with some extra structure (a principal bundle with parallel curvature). All previously known examples of geometries with parallel skew-symmetric torsion fit into this pattern. In the particular case where the above Riemannian submersion has the structure of a principal bundle, one can give the complete local classification of the corresponding geometries with parallel skew-symmetric torsion. It turns out that in all known examples, the geometry with torsion on the base of the above Riemannian submersion actually has vanishing torsion. Our main objective is to consider the general case, when the Riemannian submersion is no longer a principal fibration, and try to show that the torsion of the base still vanishes. If this conjecture is true, the full classification of geometries with parallel skew-symmetric torsion would then reduce to the study of principal bundles with parallel curvature.
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Une géométrie à torsion parallèle et anti-symétrique est une variété riemannienne munie d’une connexion dont la torsion est totalement anti-symétrique et parallèle. En dehors du cas trivial des connexions de Levi-Civita (dont la torsion s’annule), les géométries à torsion parallèle et anti-symétrique apparaissent naturellement dans plusieurs contextes géométriques : sur les espaces homogènes naturellement réductifs, sur les variétés nearly Kähler ou presque parallèles G2, sur les variétés de Sasaki ou 3-Sasaki, ou sur les espaces de twisteurs de variétés quaternion-Kähler positives.
Dans ce projet nous allons nous intéresser à la structure locale des géométries à torsion parallèle et anti-symétrique. Cleyton et Swann ont montré que dans le cas de l’holonomie irréductible, toute géométrie à torsion parallèle et anti-symétrique est soit un espaces homogène naturellement réductif, soit une variéténearly Kähler de dimension 6, soit une variété presque parallèle G2 de dimension 7.
Dans le cas où l’holonomie est réductible, on peut définir une décomposition naturelle du fibré tangent qui donne naissance à une submersion riemannienne à fibres homogènes, au-dessus d’une géométrie à torsion parallèle et anti-symétrique qui admet de plus un fibré principal à courbure parallèle. Tous les exemples précédents de géométries à torsion parallèle et anti-symétrique s’obtiennent ainsi, et dans le cas où la submersion riemannienne est une fibration principale, on peut donner la classification complète des géométries à torsion parallèle et anti-symétrique ainsi obtenues.
Il s’avère que dans tous les cas connus, la torsion sur la base de la submersion riemannienne décrite ci-dessus s’annule. Notre objectif principal est de consid´érer le cas général, ou` la submersion riemanniene n’est plus un fibré principal, et d’essayer de montrer que la torsion sur la base s’annule toujours. Ceci réduirait l’étude des géométries à torsion parallèle et anti-symétrique àcelle des fibrés principaux àcourbure parallèle.