Induction d’Arnoux-Rauzy généralisée et des échanges d’intervalles avec retournements
3 – 7 February 2020
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Interval exchange transformations are a very important class of dynamical systems related to the dynamics of billiards and flat surfaces with 1-forms. The behaviour of interval exchange transformations with flips is very different from that of standard interval exchange transformations and much less studied.
Almost any interval exchange tranformation is minimal (except for the case of trivial obstructions). On the contrary, by a theorem by A. Nogueira, almost any interval exchange transformation where at least one of the intervals flips, is non-ergodic and has an interval of periodic points. We are interested in an exceptional family of IETs with flips for which minimal behaviour occurs. We count on describing these maps explicitely. We already know that, in some fixed combinatorics (trivial fully flipped combinatorics on a circle for 3 and 4 intervals), the set R of parameters of lengths of minimal maps is contained in a hyperplane. We hope to prove that the (restricted to this plane) Lebesgue measure of this set is zero and describe this set by an explicit algorithm. The Rauzy gasket is a fractal set of measure zero and Hausdorff dimension (strictly) between 1 and 2. This set describes a set of parameters of interesting maps in numerous classes of dynamical systems such that interval exchange transformations on the circle, tiling billiards and linear involutions. We count to generalize the definition of Rauzy gasket in a way that is compatible with a new renormalization process on fully-flipped interval exchange transformations that we have recently discovered. |
Des échanges d’intervalles représentent une classe importante des systèmes dynamiques qui est liée à la dynamique des billards ainsi qu’aux surfaces plates avec 1-forme différentielle. Le comportement des échanges d’intervalles avec retournements est très différent de celui des échanges d’intervalles standards.
En effet, presque tout échange d’intervalles est minimal (sauf le cas des obstructions triviales). Au contraire, par le théorème de A. Nogueira, presque tout échange d’intervalle avec au moins un retournement a une intervalle des points périodiques. Nous sommes intéressées par une famille exceptionnelle des échanges d’intervalles avec retournements de dynamique minimale. Nous savons déjà qu’à combinatoire fixée (combinatoire triviale sur le cercle où chacune des trois ou quatre intervalles change d’orientation), l’ensemble des paramètres des longueurs à comportement minimal est contenu dans un hyperplan. Nous espérons de prouver que la mesure de Lebesgue de ces paramètres, à restriction sur ce plan, est de mesure nulle. Et nous espérons décrire cet ensemble avec un algorithme précis. La baderne de Rauzy est un ensemble fractal de mesure 0 et de dimension de Hausdorff strictement contenue entre 1 et 2. Cet ensemble décrit l’ensemble de paramètres des applications intéressantes dans des nombreuses classes des systèmes dynamiques tel que des échanges d’intervalles sur le cercle, des billards dans les pavages et des involutions linéaires. Nous espérons généraliser la notion de baderne de Rauzy dans un sens compatible avec un nouveau processus d’induction que nous avons récemment découvert. |
Pascal Hubert (Aix-Marseille Université)
Paul Mercat (Aix-Marseille Université)
Olga Paris-Romaskevich (Université de Rennes I)
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