RESEARCH IN RESIDENCE
Heat propagation with symmetries
Propagation de la chaleur avec symétries
15 – 26 May, 2023
Participants
Piotr Graczyk (Universté d’Angers)
Patrice Sawyer (Laurentian University)
Collaboration history. P. Graczyk and P. Sawyer have been collaborating intensely scientifically since 2002. They have 12 joint publications on the analysis of spherical functions on symmetric spaces (in, for example, Pacific J. Math., Journal Geometric Anal., Canadian J. Math., J. Funct. Anal., J. Lie Theory, Contemporary Mathematics,
Math. Nachrichten, Comptes Rendus Acad ́emie Sc. Paris) and two articles have been submitted. In 2021, we organized together the Congress Modern analysis related to root systems with applications at International Center CIRM CNRS Luminy Marseille.
Research objectives.
O1. Prove in the Weyl-invariant trigonometric Dunkl case the conjecture on the exact estimation of the heat kernel, stated in our article “Sharp estimates for W-invariant Dunkl and heat kernels in the An case” (2022, HAL-03452787)
O2. Prove for all root systems the conjecture on the estimates of Weyl-invariant hypergeometric Opdam-Cherednik functions given in our article “Sharp estimates for the hypergeometric functions related to root systems of type A and of rank 1” (2022, arXiv:2203.10025).
The novelty of the project. The heat kernel on symmetric spaces or in the context of Dunkl has never been estimated in three variables simultaneously.
Progress of the project.
A. Prove conjecture O1 in rank 1, in particular on all hyperbolic Riemannian spaces.
We will adapt to Dunkl’s trigonometric context the method of Yau et al. for obtaining estimates of the heat kernel based on the parabolic principle minimum. The addition of the third variable Y and the extension of the problem of estimations in Dunkl’s trigonometric context entail many difficulties. A suitable choice of the regions of variation of the three variables t, X, Y will have to be made.
B. Prove conjecture O2 for systems BCn.
There are several known results and several explicit formulas of the Dunkl-Opdam-Cherednik analysis for this root system.
Interest of the project. Our current research is part of the analysis of Dunkl and Cherednik and Opdam, a modern branch of mathematical analysis, intensely developed since 1989 related to the physics of the Calogero-Moser-Sutherland models. The physical motivations of Dunkl’s analysis, therefore also those of our mathematical research, prove the interest and the interdisciplinarity of our project.
The estimation of the heat kernel in the case of Riemannian symmetric spaces is an important and difficult subject, developed by Anker, Ji and Ostellari in the years 2000–2010. Our research will encompass their results and generalize them to the case of three variables.
Special competence, disciplinary complementarity. Patrice Sawyer is an internationally recognized expert in harmonic analysis on matrix geometric structures. Piotr Graczyk has considerable experience and skill in the
application of analytical results in applied stochastic and statistical sciences. This disciplinary complementarity, which has already given multiple publications of P. Graczyk with P. Sawyer is a strong point of the project.
Impact of the project. This project will have a significant impact because it will lead to scientific publications solving important open problems in analysis related to the propagation of heat subject to symmetries as well as applications to stochastic Wiener-Dyson processes and in mathematical particle physics.
The project is strongly integrated into the current national scientific policy: the policy of the development of the interactions between natural and applied sciences and the promotion of interdisciplinarity.
This project is important for the scientific visibility of LAREMA and the University of Angers at the international level.
We plan to continue the project throughout 2023 and beyond.
Historique de collaboration. P. Graczyk et P. Sawyer collaborent intensément scientifiquement depuis 2002. Ils ont 12 publications communes sur l’analyse de fonctions sphériques sur les espaces symétriques (dans e.a. Pacific J. Math., Journal Geometric Anal., Canadian J. Math., J. Funct.Anal., J. Lie Theory, Contemporary Mathematics, Math.Nachrichten, Comptes Rendus Académie Sc. Paris) et 2 articles soumis.
En 2021 nous avons organisé ensemble le Congrès ”Modern analysis related to root systems with applications” au Centre International CIRM CNRS Luminy Marseille.
Objectifs de recherche.
O1. Démontrer dans le cas de Dunkl trigonométrique Weyl-invariant la conjecture sur l’estimation exacte du noyau de chaleur, énoncée dans notre article ”Sharp estimates for W-invariant Dunkl and heat kernels in the An case” (2022, HAL-03452787).
O2. Prouver pour tous les systèmes de racines la conjecture sur les estimations de fonctions hypergéométriques Weyl-invariantes d’Opdam-Cherednik donnée dans notre article ”Sharp estimates for the hypergeometric functions related to root systems of type A and of rank 1” (2022, arXiv:2203.10025).
La nouveauté du projet. Jamais le noyau de la chaleur sur les espaces symétriques ou dans le contexte de Dunkl n’a été estimé en 3 variables simultanément.
Déroulement du projet.
A. Prouver la conjecture O1 au rang 1, en particulier sur tous les espaces riemanniens hyperboliques.
Nous adapterons au contexte trigonométrique de Dunkl la méthode de Yau et al. d’obtention des estimations du noyau de la chaleur basée sur le principe parabolique de minimum. L’adjonction de la 3-ème variable Y et l’extension du problème des estimations au contexte trigonométrique de Dunkl entraînent beaucoup de difficultés.
Un choix convenable des régions de variation de 3 variables t, X, Y devra être fait.
B. Prouver la conjecture O2 pour les systèmes BCn.
Il y a plusieurs résultats connus et plusieurs formules explicites de l’analyse de Dunkl-Opdam-Cherednik pour ce système de racines.
Intérêt du projet. Notre recherche actuelle s’inscrit dans l’analyse de Dunkl et de Cherednik et Opdam, une branche moderne de l’analyse mathématique, développée intensément depuis 1989 en relation avec la physique des modèles de Calogero-Moser-Sutherland. Les motivations physiques de l’analyse de Dunkl, donc également de nos recherches mathématiques, prouvent l’intérêt et l’interdisciplinarité de notre projet.
Les estimations du noyau de la chaleur dans le cas ses espaces symétriques riemanniens est un sujet important et difficile, développé par Anker,Ji et Ostellari dans les années 2000-2010. Notre recherche englobera leurs résultats et les généralisera au cas de 3 variables.
Compétence particulière, complémentarité disciplinaire. Patrice Sawyer est un expert internationalement reconnu en analyse harmonique sur les structures géométriques matricielles. Piotr Graczyk a une expérience et compétence considérable en applications des résultats analytiques en sciences appliquées stochastiques et statistiques. Cette complémentarité disciplinaire, qui a donné déjà multiples publications de P.Graczyk avec P. Sawyer est un point fort du projet.
Impact du projet. Ce projet aura un impact significatif car il mènera à des publications scientifiques contenant la résolution des problèmes ouverts importants en analyse moderne liée à la propagation de la chaleur soumises à des symétries ainsi que les applications pour les processus stochastiques de Wiener-Dyson et en physique mathématique des particules.
Le projet s’intègre fortement dans la politique scientifique nationale actuelle: la politique du développement des interactions de sciences exactes et appliquées et la promotion de l’interdisciplinarité.
Ce projet est important pour la visibilité scientifique du LAREMA et de l’Université d’Angers au niveau international.
Nous envisageons de continuer le projet pendant toute l’année 2023 et au-delà.
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