RESEARCH IN RESIDENCE
Curvature and modulation invariance in harmonic analysis
Courbure et invariance par modulation en analyse harmonique
Courbure et invariance par modulation en analyse harmonique
1 – 5 August, 2022
Description
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Time-frequency analysis is a research area within harmonic analysis that started to take shape through the works of Carleson [Car66] and Fefferman [Fef73] (both concerning the pointwise convergence of Fourier series of square-integrable functions on the torus), and later on those of Lacey and Thiele [LT97, LT99] (this time concerning a conjecture of Calder´on about the boundedness of the bilinear Hilbert transform). The common factor of these works resides in the study of operators that exhibit a certain type of modulation invariance and that require a simultaneous analysis in space and in frequency, achieved through a wave-packet decomposition of the operator. Another recurrent theme in harmonic analysis addresses the effect of curvature when studying various operators. Such a phenomenon appears when examining operators along curves or vector fields – as motivated by Zygmund’s conjecture concerning the differentiability along vector fields – or in the form of (maximally modulated) singular integral operators whose kernels carry an oscillatory factor – the latter having emerged for example in the study of singular integral operators (and subelliptic partial differential operators) on the Heisenberg group. Our objective is to continue our extensive and ambitious research program that aims to advance our understanding of the subtle interplay between modulation invariance and curvature in harmonic analysis. Our collaboration’s first result [BBLV21] concerns a class of bilinear operators called (BCa )a that are a merger between a bilinear modulation invariant operator (the bilinear Hilbert transform) and a maximally modulated singular integral operator whose kernel carries an exponential of an imaginary monomial (a Carleson-type operator). The introduction of the (BCa )a class has produced a novel hierarchy within the harmonic analysis literature, which we are planning to further examine. Moreover, we intend to study other phenomena which appear naturally in this context, and which could eventually provide new perspectives on long-standing conjectures in time-frequency analysis.
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L’analyse temps-fréquence est un domaine de recherche de l’analyse harmonique, qui s’est façonnée via les travaux de Carleson [Car66] et Fefferman [Fef73] (au sujet de la convergence ponctuelle des séries de Fourier pour une fonction de carré intégrable sur le tore), puis plus tard de Lacey et Thiele [LT97, LT99] (cette fois-ci à propos de la conjecture de Calderón sur la bornitude de la transformée de Hilbert bilinéaire). Le point commun de ces travaux réside dans l’étude d’opérateurs qui possèdent une invariance par un certain type de modulation et par conséquent cette étude nécessite une analyse simultanée en espace et en fréquence, qui est accomplie par une décomposition en “paquets d’onde” de l’opérateur. Un autre thème récurrent en analyse harmonique est l’étude d’opérateurs en présence de courbure (non nulle). De telles situations arrivent quand on étudie des opérateurs le long d’une courbe ou d’un champ de vecteur – comme ceux motivés par la conjecture de Zygmund sur la différentiabilité le long d’un champ de vecteur – ou quand on étudie des opérateurs singuliers (maximaux), sous modulation, où alors le noyau intégral contient un facteur oscillant – ces derniers sont apparus par exemple dans l’étude d’opérateurs singuliers sur le groupe de Heisenberg. Notre objectif est de continuer notre programme de recherche ambitieux, qui a pour but d’accroître la connaissance et la compréhension de comment l’invariance par modulation et la présence de courbure peuvent se concilier et interagir de façon subtile en analyse harmonique. En effet dans notre premier travail issu de notre collaboration [BBLV21], nous avons introduit et étudié une nouvelle classe d’opérateurs bilinéaires (BCa )a, qui sont la parfaite fusion entre un opérateur bilinéaire avec invariance par modulation (la transformée de Hilbert bilinéaire) et un opérateur maximal dont le noyau présente un terme oscillant via une exponentielle complexe (opérateur de type Carleson). L’introduction de cette nouvelle classe d’opérateurs (BCa )a a créé une nouvelle hiérarchie dans la littérature en analyse harmonique, que nous prévoyons d’étudier. De plus, nous envisageons d’étudier d’autres phénomènes qui apparaissent naturellement dans ce contexte, et qui pourront apporter de nouvelles perspectives sur de célébres conjectures en analyse temps-fréquence.
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Participants
Frédéric Bernicot (CNRS – Université de Nantes)
Cristina Benea (Université de Nantes)
Victor Lie (Purdue University)
Marco Vitturi (Cork University)
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Sponsor
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