RESEARCH IN RESIDENCE
Generic Dynamics
Dynamique générique
Dynamique générique
23 May – 3 June, 2022
Description
The roots of studying generic properties in dynamical systems can be derived from the article by Oxtoby and Ulam from 1941 in which they showed that for a finite-dimensional compact manifold with a non-atomic measure which is positive on open sets, the set of ergodic measure-preserving homeomorphisms is generic in the strong topology. Subsequently, Halmos in 1944 introduced approximation techniques to a purely metric situation: the study of interval maps which are invertible almost everywhere and preserve the Lebesgue measure. He showed that the generic invertible map is weakly mixing, i.e., has continuous spectrum. Then, Rohlin in 1948 showed that the set of (strongly) mixing measure preserving invertible maps is of the first category. Two decades later, Katok and Stepin in 1967 introduced the notation of a speed of approximations. One of the notable applications of their method is the genericity of ergodicity and weak mixing for certain classes of interval exchange transformations. One of the most outstanding result using approximation theory is the Kerckhoff, Masur, Smillie result on the existence of polygons for which the billiard flow is ergodic, as well as its quantitative version by Vorobets. Many more details on the history of approximation theory can be found in surveys. In a recent series of articles the members of the project have studies the dynamical properties of generic continuous maps of the interval and circle which preserve the Lebesgue measure. Our investigations have lead to many new and interesting questions which we propose to study during this research in residence program.
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Les racines de l’étude des propriétés génériques dans les systèmes dynamiques peuvent être dérivées de l’article d’Oxtoby et Ulam de 1941 dans lequel ils ont montré que pour une variété compacte de dimension finie avec une mesure non atomique qui est positive sur les ensembles ouverts, la L’ensemble d’homéomorphismes ergodiques préservant les mesures est générique dans la topologie forte. Par la suite, Halmos en 1944 a introduit des techniques d’approximation à une situation purement métrique : l’étude des applications d’intervalles inversibles presque partout et conservant la mesure de Lebesgue. Il a montré que l’application générique inversible est faiblement mélangeant, c’est-à-dire qu’elle a un spectre continu. Ensuite, Rohlin en 1948 a montré que l’ensemble des applications inversibles préservant les mesures (fortement) mélangées est de la première catégorie. Deux décennies plus tard, Katok et Stepin en 1967 ont introduit la notation d’une vitesse d’approximations. Une des applications notables de leur méthode est la généricité de l’ergodicité et du mélange faible pour certaines classes de transformations d’échange d’intervalles. L’un des résultats les plus remarquables utilisant la théorie de l’approximation est le résultat de Kerckhoff, Masur, Smillie sur l’existence de polygones pour lesquels le flot de billard est ergodique, ainsi que sa version quantitative par Vorobets. Beaucoup plus de détails sur l’histoire de la théorie de l’approximation peuvent être trouvés dans ldes articles. Dans une récente série d’articles, les membres du projet ont étudié les propriétés dynamiques d’applications génériques continues de l’intervalle et du cercle qui préservent la mesure de Lebesgue. Nos investigations ont mené à de nombreuses questions nouvelles et intéressantes que nous proposons d’étudier au cours de ce programme de recherche en résidence.
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Participants
Jozef Bobok (Czech Technical University of Prague)
Jernej Činč (University of Ostrava & University of Vienna)
Piotr Oprocha (AGH University of Science and Technology)
Serge Troubetzkoy (Aix-Marseille Université)
Sponsor
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