RESEARCH IN RESIDENCE
Quantum loop groups via shuffle algebras
Groupes à boucles quantiques par algèbres de battage
7 – 18 August 2023
Participants
Andrei Negut (Massachusetts Institute of Technology)
Oleksander Tsymbaliuk (Purdue University)
The main purpose of the present project is to consider the fundamental (and well established) features of quantum groups Uq(g), such as
1. triangular decompositions and Poincaré-Birkhoff-Witt bases
2. integral forms and canonical bases
3. the Hopf algebra structure and the radical of the natural Hopf pairing
4. connections with objects from geometric representation theory, such as K-theoretic Hall algebras
and develop them in the setting of quantum loop groups Uq(Lg). We wish to work in the setting of (generalized) Kac-Moody Lie algebras g, thus going far beyond much of the existing literature (which usually deals with the case of g finite-dimensional, and occasionally affine). We plan, to use shuffle algebras as computational and technical tools to obtain the features listed above.
As explained in detail in our Research Proposal, the idea of using shuffle algebras to study quantum loop groups in-depth is still in its infancy, but it has already produced substantial results in fields as far apart as geometric representation theory, knot invariants, mathematical physics and combinatorics. Moreover, the applications listed above all occurred for certain particular (and rather explicit) examples of g. We are optimistic that developing the foundations of Uq(Lg) for arbitrary (generalized) Kac-Moody Lie algebras g will lead to even more wonderful applications.
Le but principal du présent projet est de considérer les caractéristiques fondamentales (et bien établies) des groupes quantiques Uq(g), tels que
1. décompositions triangulaires et bases de Poincaré-Birkhoff-Witt
2. formes intégrales et bases canoniques
3. la structure de l’algèbre de Hopf et le radical de l’appariement naturel de Hopf
4. connexions avec des objets de la théorie géométrique des représentations, telles que les algèbres de Hall K-théoriques
et les développer dans le cadre des groupes à boucles quantiques Uq(Lg). Nous souhaitons travailler dans le cadre des algèbres de Lie de Kac-Moody (généralisées) g, allant ainsi bien au-delà d’une grande partie de la littérature existante (qui traite généralement le cas de g de dimension finie, et parfois affine). Nous voulons utiliser les algèbres de battage comme outils computationnels et techniques pour obtenir les caractéristiques énumérées ci-dessus.
Comme expliqué en détail dans notre présentation de recherche, l’idée d’utiliser les algèbres de battage pour étudier en profondeur les groupes à boucles quantiques est encore incipiente, mais elle a déjà produit des résultats substantiels dans des domaines variés comme la théorie géométrique des représentations, les invariants de nœuds, la physique mathématique et la combinatoire. De plus, les applications listées ci-dessus correspondaient toutes à certains exemples particuliers (et assez explicites) de g. Nous sommes optimistes que le développement des fondements de Uq(Lg) pour les algèbres de Lie de Kac-Moody (généralisées) arbitraires g conduira à des applications encore plus merveilleuses.
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