RESEARCH IN RESIDENCE
Integrability of derived complex analytic spaces
Intégrabilité des espaces analytiques complexes dérivés
23 – 27 August, 2027
Participants
Joan Millès (Université de Toulouse)
Sinan Yalin (Université d’Angers)
Integrability and Hodge theory are fundamental tools of complex geometry. Recently, the works of Mauro Porta and Tony Yue Yu on derived analytic geometry, drawing inspiration upon an approach initiated by Jacob Lurie, showcased its full potential in the study of moduli spaces crucial for enumerative geometry and mirror symmetry. However, its formalism does not encompass certain classical constructions of complex geometry such as integrable almost complex structures, driving us to the initial motivation of our research project.
The notion of integrable almost complex structure can be described, at the formal neighbourhood of a point, as a curved algebra over a certain curved operad. An interesting idea to build a model of integrable almost complex space in the derived sense is to consider a homotopy coherent version of such algebras and glue these local data. In a recent paper, we established a homotopy theory of curved algebras over curved operads general enough to include the aforementioned example, in which we generalized usual tools from operadic algebra.
The purpose of this stay at the CIRM is, in a sheaf theoretic framework based on this article, to develop our model of derived complex geometry. We’ll also give its fundamental features such as a derived Newlander-Nirenberg theorem by comparing explicitly our formalism with those of Porta-Yu and Pridham. This model will apply in particular to complex analytic spaces, singular foliations, non-smooth quotients of complex manifolds by group actions.
L’intégrabilité et la théorie de Hodge sont des outils fondamentaux de la géométrie complexe. Récemment, les travaux de Mauro Porta et Tony Yue Yu sur la géométrie analytique dérivée, s’inspirant de l’approche initiée par Jacob Lurie, ont illustré tout son potentiel pour étudier des espaces de modules fondamentaux en géométrie énumérative et symétrie miroir. Cependant, ce formalisme ne permet pas de décrire certaines constructions classiques de la géométrie complexe usuelle comme les structures presque complexes intégrables, ce qui constitue la motivation première
de notre projet.
La notion de structure presque complexe intégrable peut se décrire formellement, au voisinage d’un point, comme la donnée d’une algèbre courbée sur une certaine opérade courbée. Une idée intéressante pour obtenir un modèle d’espace presque complexe intégrable au sens dérivé est donc de considérer une version homotopiquement cohérente de ces algèbres et de recoller ces données locales. Dans un article récent, nous avons établi une théorie homotopique des algèbres courbées sur des opérades courbées, incluant l’exemple susmentionné, dans laquelle nous avons généralisé les outils usuels de l’algèbre opéradique.
L’objet de ce séjour au CIRM est, dans un cadre faisceautique s’appuyant sur cet article, de développer notre modèle de géométrie complexe dérivée. Nous donnerons dans le même temps ses propriétés fondamentales comme un théorème de Newlander-Nirenberg dérivé en comparant explicitement notre formalisme avec ceux de Porta-Yu et de Pridham. Ce modèle s’appliquera notamment aux espaces analytiques complexes, feuilletages singuliers, quotients non lisses de variétés complexes par des actions de groupes.
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