RESEARCH IN RESIDENCE
Semiorthogonal decompositions in extriangulated categories
Décompositions semi-orthogonales des catégories extriangulées
15 – 26 February, 2027
Participants
Erlend due Børve (Aarhus University)
Maximilian Kaipel (University of Bielefeld)
Triangulated categories are ubiquitous in algebraic geometry and representation theory. In both fields, semiorthogonal decompositions are used to break down triangulated categories into smaller, better-understood pieces. However, non-trivial examples of such decompositions are not available in many cases, notably for Calabi–Yau categories.
In this project, we aim to investigate triangulated categories and their decompositions through the more general lens of extriangulated categories, in the sense of Nakaoka–Palu. By considering relative theories, one can “break up” the triangulated structure into extriangulated substructures. On the extriangulated level, we will develop a notion of semiorthogonal decomposition, which we expect to glue together to a meaningful decomposition of the original triangulated category.
The approach we propose can be summarised in one sentence:
Break up the triangulated structure before breaking up the triangulated category.
More precisely, we aim to achieve the following:
• Develop the methodology of semiorthogonal decompositions of extriangulated categories in order to decompose triangulated categories via their extriangulated substructures.
• Glue together the components of the semiorthogonal decompositions obtained in this way to classify objects and thus reveal new structural properties of the original triangulated category.
• Introduce suitable versions of exceptional sequences in the context of extriangulated categories and show that they induce functorial decompositions of the categories, such as recollements and semiorthogonal decompositions.
Les catégories triangulées sont omniprésentes en géométrie algébrique et en théorie des représentations. Dans ces deux domaines, des décompositions semi-orthogonales permettent de décomposer les catégories triangulées en éléments plus petits et mieux compris. Cependant, les exemples non triviaux de telles décompositions font souvent défaut, notamment pour les catégories Calabi-Yau.
Dans ce projet, nous proposons d’étudier des catégories triangulées et leurs décompositions à l’aide de catégories extriangulées, au sens de Nakaoka-Palu. En considérant les théories relatives, on découvre des sous-structures extriangulées d’une catégorie triangulée. A ce niveau extriangulé, nous développerons une notion de décomposition semi-orthogonale, qui devrait permettre de reconstituer une décomposition significative de la catégorie triangulée initiale.
L’approche que nous proposons peut se resumer en une phrase:
Décomposer la structure triangulée avant de décomposer la catégorie triangulée.
Plus precisément, nous visons à :
• Développer la méhodologie des décompositions semi-orthogonales des catégories extriangulées afin de décomposer les catégories triangulées via leurs sous-structures extriangulées. ´
• Assembler les composantes des decompositions semi-orthogonales ainsi obtenues pour classifier les objets et revéler de nouvelles propriétés structurelles de la catégorie triangulée originale.
• Introduire des versions appropriees de séquences exceptionnelles dans le contexte des catégories extriangulées et montrer qu’elles induisent des décompositions fonctorielles des catégories, telles que des recollements et des décompositions semi-orthogonales.
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