RESEARCH IN RESIDENCE
Galois representations arising from triangle groups
Représentations de Galois issues de groupes triangulaires
3 – 7 August, 2026
From the beginning of arithmetic geometry, Galois actions on topological invariants of algebraic varieties have been a central theme in the field. Explicit descriptions of these actions not only give beautiful results on their own but also form the basis for all kinds of further progress. There are several examples of this in the case of curves. The cohomology of Fermat curves was studied by Anderson and Ihara and described via adelic versions of the beta and gamma functions, leading to the discovery of higher reciprocity laws. The cohomology of modular curves can be described by modular forms by the Eichler-Shimura isomorphism, a starting point for the uses of automorphic forms in arithmetic geometry. The study of the Galois action on the étale fundamental group of the thrice-punctured projective line, which can be described by dessins d’enfants, led to both anabelian geometry and Deligne’s work on the motivic fundamental group.
We aim to deepen the study of all three of these examples by extending them to variants arising from triangle groups. Upon doing so, these seemingly disparate threads can then be intricately connected to each other through Hain and Matsumoto’s approach to motives – a striking observation that forms the underlying motivation for this endeavor. One of the first steps to constructing these motives associated to triangle groups is by studying their étale realizations, which amounts to studying the Galois representations from curves uniformized by these groups. These include generalized Fermat curves and triangular modular curves, thus extending the examples mentioned earlier.
We plan to study these Galois actions during our week at CIRM, extending the known results for Fermat curves. As young researchers, we hope that this collaboration will be the starting point of a deep exploration and addition to the theory of motives, shaping our future research programs.
Depuis les débuts de la géométrie arithmétique, les actions de Galois sur les invariants topologiques des variétés algébriques constituent un thème central. La description explicite de ces actions permet non seulement d’obtenir de beaux résultats, mais elle est aussi à la base de nombreux progrès ultérieurs. On en trouve plusieurs exemples dans le cas des courbes. La cohomologie des courbes de Fermat a été étudiée par Anderson et Ihara, qui l’ont décrite à l’aide de versions adéliques des fonctions bêta et gamma, ce qui a conduit à la découverte de lois de réciprocité d’ordre supérieur. La cohomologie des courbes modulaires peut être décrite par des formes modulaires grâce à l’isomorphisme d’Eichler-Shimura, point de départ de l’utilisation des formes automorphes en géométrie arithmétique. L’étude de l’action de Galois sur le groupe fondamental étale de la droite projective trois fois perforée, qui peut être décrit par des dessins d’enfants, a mené à la géométrie anabélienne et aux travaux de Deligne sur le groupe fondamental motivique. Notre objectif est d’approfondir l’étude de ces trois exemples en les étendant aux variantes issues des groupes triangulaires.
Ce faisant, ces pistes apparemment disparates pourront être étroitement liées grâce à l’approche des motifs de Hain et Matsumoto – une observation marquante qui constitue la motivation première de cette entreprise. L’une des premières étapes de la construction de ces motifs associés aux groupes triangulaires consiste à étudier leurs réalisations étales, c’est-à-dire les représentations galoisiennes des courbes uniformisées par ces groupes. Ces représentations incluent les courbes de Fermat généralisées et les courbes modulaires triangulaires, étendant ainsi les exemples mentionnés précédemment.
Nous prévoyons d’étudier ces actions galoisiennes lors de notre semaine au CIRM, en étendant les résultats connus pour les courbes de Fermat. En tant que jeunes chercheurs, nous espérons que cette collaboration sera le point de départ d’une exploration approfondie et d’un enrichissement de la théorie des motifs, orientant ainsi nos futurs programmes de recherche.
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