RESEARCH IN RESIDENCE
The Bogomolov property along towers of Kummer p-extensions
La propriété de Bogomolov le long de tours de p-extensions de Kummer
12 – 16 October, 2026
Participants
Andrea Conti (Heidelberg University)
Ilaria Del Corso (University of Pisa)
Léa Terracini (University of Turin)
In number theory, the question of the existence of algebraic numbers of very small Weil height has been widely studied. Many central problems revolve around Lehmer’s conjecture, which predicts that every algebraic number that is not a root of unity has Weil height bounded below by an absolute constant divided by its degree. Although this conjecture remains open, it has been shown that certain specific sets of algebraic numbers satisfy the even stronger Bogomolov property (B), introduced by Bombieri and Zannier: they contain no infinite sequence of non-torsion elements whose Weil height tends to zero.
Many algebraic extensions of ℚ are conjectured to satisfy property (B) outside a small exceptional set. In this direction, Rémond (2017) conjectured that, for a number field K and a finitely generated subgroup Γ ⊂ K×, the set K(Γ^div)× \ Γ^div has property (B), where Γ^div denotes the divisible hull of Γ in K×.
While the full conjecture remains out of reach, we focus on its p-adic analogue, which predicts property (B) for K(Γ^p-div)× outside the points belonging to the p-divisible closure of Γ. This conjecture has been proved for groups Γ of rank 1 by Amoroso (2016) and Plessis (2022), but their methods do not seem to extend to higher rank.
We aim to address the case where Γ has arbitrary rank, drawing on recent results of Conti–Terracini (2025) as well as extensions of the work of Del Corso–Rossi (2013), which already provide a new proof in the rank-one case without assumptions on the base field K. We will then turn to the case of the S-divisible hull of Γ relative to a finite set S of prime numbers.
En théorie des nombres, la question de l’existence de nombres algébriques de très petite hauteur de Weil a été largement étudiée. De nombreux problèmes centraux gravitent autour de la conjecture de Lehmer, qui prédit que tout nombre algébrique qui n’est pas une racine de l’unité a une hauteur de Weil minorée par une constante absolue divisée par son degré. Bien que cette conjecture demeure ouverte, on a démontré que certains ensembles particuliers de nombres algébriques satisfont la propriété de Bogomolov (B), encore plus forte, introduite par Bombieri et Zannier : ils ne contiennent aucune suite infinie d’éléments sans torsion dont la hauteur de Weil tend vers zéro.
De nombreuses extensions algébriques de ℚ sont supposées vérifier la propriété (B) en dehors d’un petit ensemble exceptionnel. Dans ce sens, Rémond (2017) a conjecturé que, pour un corps de nombres K et un sous-groupe de type fini Γ ⊂ K×, l’ensemble K(Γ^div)× \ Γ^div possède la propriété (B), où Γ^div désigne l’enveloppe divisible de Γ dans K×.
Tandis que la conjecture complète demeure hors de portée, nous nous concentrons sur son analogue p-adique, qui prédit la propriété (B) pour K(Γ^p-div)× en dehors des points appartenant à la clôture p-divisible de Γ. Cette conjecture a été démontrée pour les groupes Γ de rang 1 par Amoroso (2016) et Plessis (2022), mais leurs méthodes ne semblent pas s’étendre au rang supérieur.
Nous visons à traiter le cas où Γ est de rang arbitraire, en exploitant des résultats récents de Conti–Terracini (2025) ainsi que des extensions des travaux de Del Corso–Rossi (2013), qui fournissent déjà une nouvelle preuve dans le cas de rang un, sans hypothèses sur le corps de base K. Nous nous tournerons ensuite vers le cas de l’enveloppe S-divisible de Γ relativement à un ensemble fini S de nombres premiers.
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