RESEARCH IN RESIDENCE
Algebraic theories, cartesian 2-rigs, and para-toposes
Théories algébriques, 2-semi-anneaux cartésiens et para-topoï
19 – 30 April, 2027
Participants
Dimitri Ara (I2M, Aix Marseille Université)
Marcelo Fiore(University of Cambridge)
André Joyal (UQAM)
Lionel Vaux auclair(Aix-Marseille Université)
This research in residence is within the space of Geometry-algebra duality and Exponentiability theory of 2-rigs .
(1) The presheaf construction on an unsorted algebraic theory (namely, a cartesian category) freely generates a cartesian 2-rig (namely, a cartesian closed presentable category).
Fiore and Joyal showed that these are exponentiable objects in the formal dual 2-category of para-toposes (or cartesian 2-schemes). The theory underlying this result is both rich and technical; involving, for instance, two-dimensional universal bilinear tensor products, and categorical tensors and powers. It may additionally be approached from different perspectives, either concrete or abstract, and we are yet to settle for the best development and ideal presentation. During the residence, we are to work on this, as well as on various remaining open problems; most importantly: the characterization of exponentiable para-toposes. Additionally, the characterization of coexponentiable [symmetric] 2-rigs (namely, [symmetric] monoidal closed presentable categories) is also open and will be investigated.
(2) The theory of exponentiable toposes of Johnstone and Joyal has been extended to ∞-toposes by Anel and Lejay, and by Lurie. Exponentiability for (cartesian or symmetric) 2-rigs in the context of Lurie’s extension to ∞-categories is to be considered.
Cette recherche en résidence s’inscrit dans le cadre de la dualité géométrie-algèbre et de la théorie de l’exponentiabilité des 2-rigs .
(1) La construction de pré-faisceau sur une théorie algébrique non triée (à savoir une catégorie cartésienne) génère librement un 2-rig cartésien (à savoir une catégorie cartésienne fermée présentable).
Fiore et Joyal ont montré que ce sont des objets exponentiables dans la 2-catégorie formelle duale des para-toposes (ou 2-schémas cartésiens). La théorie qui sous-tend ce résultat est à la fois riche et technique ; elle implique, par exemple, des produits tensoriels bilinéaires universels à deux dimensions, ainsi que des tenseurs et des puissances catégoriques. Elle peut en outre être abordée sous différents angles, concrets ou abstraits, et nous n’avons pas encore déterminé le meilleur développement et la présentation idéale. Au cours de la résidence, nous travaillerons sur ce sujet, ainsi que sur divers problèmes encore en suspens, notamment la caractérisation des para-toposes exponentiables. De plus, la caractérisation des 2-rigs coexponentiables [symétriques] (à savoir, les catégories présentables monoidales fermées [symétriques]) est également ouverte et fera l’objet d’une étude.
(2) La théorie des topos exponentiables de Johnstone et Joyal a été étendue aux ∞-topos par Anel et Lejay, puis par Lurie. L’exponentiabilité des 2-rigs (cartésiens ou symétriques) dans le contexte de l’extension de Lurie aux ∞-catégories doit être prise en considération.
SPONSORS
