RESEARCH IN RESIDENCE
Hyperelliptic genera and Pell’s equations with applications in topology, geometry and integrability
Genres hyperelliptiques et équations de Pell avec applications en topologie, géométrie et intégrabilité
2 – 13 March, 2026
Participants
Vladimir Dragović (University of Texas at Dallas)
Svjetlana Terzic (University of Montenegro)
A Hirzebruch genus is an invariant for certain classes of manifolds that can be expressed in terms of characteristic classes of the tangent bundle of a manifold, which might be equipped with a stable complex structure. It takes values in a ring, satisfies the properties of additivity and multiplicativity and is defined by the formal power series, called the logarithm of a genus.
The Hirzebruch genera play a fundamental role in complex cobordism theory and its applications.
Among Hirzebruch genera, of a special importance in different areas of mathematics and mathematical physics, are classical genera such as the Todd genus, the signature and the arithmetic genus, as well as the modern genera such as an elliptic genus, the Krichever genus and the general Krichever genus, which comprise elliptic genera of level N, N ≥ 2.
The logarithm of an elliptic genus of level N is the power series determined by the N-th root of a function on an elliptic curve that has a zero of order N at one point and a pole of order N at another point of that curve, and no other zeros or poles.
Our general aim is to generalize the settings of the elliptic genus of level N and to define, study and compute a genus which is determined by the N-th root of the Aikheizer function on a hyperelliptic curve, for which it is known to have a zero of order N at one point and a pole of order N at another point of the curve, and no other zeros or poles. The pole and the zero are related by the hyperelliptic involution and may be assumed to lie over the point at infinity.
We have been approaching this goal for quite some time by studying various techniques and tools related to the classical Hirzebruch genera, uniformization of hyperelliptic curves, extremal and orthogonal polynomials on the real line. We have already made progress in constructing a logarithm of a new genus. The next step we are working on is to determine analytical and topological properties of this logarithm as well as of the corresponding genus. Finally, we plan to demonstrate our results on important classes of homogeneous spaces including complex Grassmann manifolds.
Un genre de Hirzebruch est un invariant pour certaines classes de variétés, exprimable en termes de classes caractéristiques du fibré tangent d’une variété, laquelle peut être dotée d’une structure complexe stable. Il prend des valeurs dans un anneau, satisfait les propriétés d’additivité et de multiplicité et est défini par la série formelle entière, appelée logarithme d’un genre.
Les genres de Hirzebruch jouent un rôle fondamental dans la théorie du cobordisme complexe et ses applications. Parmi les genres de Hirzebruch, d’une importance particulière dans différents domaines de la mathématique et de la physique mathématique, on trouve des genres classiques tels que le genre Todd, le genre signature et le genre arithmétique, ainsi que des genres modernes tels qu’un genre elliptique, le genre Krichever et le genre Krichever général, qui incluent les genres elliptiques de niveau N, N ≥ 2.
Le logarithme d’un genre elliptique de niveau N est la série entière déterminée par la racine Nième d’une fonction sur une courbe elliptique ayant un zéro d’ordre N en un point et un pôle d’ordre N en un autre point de cette courbe, et aucun autre zéro ou pôle.
Notre objectif général est de généraliser le cadre du genre elliptique de niveau N et de définir, étudier et calculer un genre déterminé par la racine N-ième de la fonction d’Aikheizer sur une courbe hyperelliptique, dont on sait qu’elle possède un zéro d’ordre N en un point et un pôle d’ordre N en un autre point de la courbe, et aucun autre zéro ou pôle. Le pôle et le zéro sont reliés par l’involution hyperelliptique et peuvent être supposés d’être situés au-dessus du point à l’infini.
Nous abordons cet objectif depuis un certain temps en étudiant diverses techniques et outils liés aux genres de Hirzebruch classiques, à l’uniformisation des courbes hyperelliptiques et aux polynômes extrémaux et orthogonaux sur la droite réelle. Nous avons déjà progressé dans la construction d’un logarithme d’un nouveau genre. L’étape suivante sur laquelle nous travaillons est de déterminer les propriétés analytiques et topologiques de ce logarithme ainsi que du genre correspondant. Enfin, nous prévoyons de démontrer nos résultats sur des classes importantes d’espaces homogènes, y compris les variétés Grassmann complexes.
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