RESEARCH IN RESIDENCE
A Grothendieck type theorem for the quantum projective line
Un théorème à la Grothendieck pour la ligne projective quantique
20 – 31 July, 2026
Participants
Paolo Aschieri (Università Piemonte Orientale)
Masoud Khalkhali (University of Western Ontario)
Giovanni Landi (Trieste University)
A fundamental result in the classification of vector bundles is Grothendieck’s Theorem, which classifies algebraic (or holomorphic) vector bundles over the complex projective line in terms of their decomposition as a direct sum of holomorphic line bundles. The objective of this project is to develop an analogue of Grothendieck’s theorem in the context of noncommutative geometry, particularly for the quantum projective line.
The plan is to extend Hazewinkel’s method, based on reduction theory of matrices with entries in Laurent polynomial rings, to quantum matrices. This noncommutative generalization uses a sheaf approach and features finer novel aspects related to cleft yet nontrivial principal bundles and to the associated quadratic algebra vector bundles. Indeed key examples from vector bundles associated to quantum principal
bundles are expected to pave the way to the envisaged classification result. This extension could lead to new insights in representation theory, with broader applications in quantum group representations and mathematical physics.
Un résultat fondamental de la classification des fibrés vectoriels est le théorème de Grothendieck, qui classe les fibrés vectoriels algébriques (ou holomorphes) sur la ligne projective complexe en fonction de leur décomposition en somme directe de fibrés en ligne holomorphes. L’objectif de ce projet est de développer un analogue du théorème de Grothendieck dans le contexte de la géométrie non commutative, en particulier pour la ligne projective quantique.
Il s’agit d’étendre la méthode de Hazewinkel, basée sur la théorie de la réduction des matrices à éléments dans les anneaux de polynômes de Laurent, aux matrices quantiques. Cette généralisation non commutative utilise une approche par faisceaux et présente des aspects nouveaux et plus précis liés aux fibrés principaux clivés mais non triviaux et aux fibrés vectoriels des algèbres quadratiques associées. En effet, des exemples clés de fibrés vectoriels associés à des fibrés principaux quantiques devraient ouvrir la voie au résultat de classification envisagé. Cette extension pourrait ouvrir de nouvelles perspectives en théorie des représentations, avec des applications plus générales en représentations de groupes quantiques et en physique mathématique.
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