RESEARCH IN RESIDENCE
The horocycle flow in moduli spaces of translation surfaces
Le flot horocyclique dans les espaces de modules de surfaces de translation
23 – 27 June, 2025
The study of dynamics on moduli spaces of translation surfaces has been undergoing intensive growth over the last two decades. This subdomain of ergodic theory lies at the crossroads of dynamics of Lie group actions and geometry of surfaces and has close connections with the theory of rational billiards, interval exchange transformations, Teichmüller theory, algebraic geometry, number theory, mathematical physics, and more. Much of the work on dynamics on spaces of translation surfaces has been motivated by a fruitful analogy with the study of Lie group actions on homogeneous spaces. In such a putative dictionary, the horocycle flow on moduli spaces corresponds to a unipotent flow on a homogeneous space, for which Ratner famously showed that all orbit-closures and invariant measures admit a nice algebraic description. The celebrated “magic wand” theorems of Eskin, Mirzakhani and Mohammadi, may be regarded as providing positive evidence for the existence of a corresponding picture for moduli spaces of translation surfaces. However, recent work by Chaika, Smillie, and Weiss indicates that the behavior of the horocycle flow in these spaces is more complex than this simple analogy might suggest. This project aims to deepen our understanding of the horocycle flow within specific subloci of moduli spaces, known as rank 1 invariant linear loci.
This continues ongoing collaborative work initiated in 2021 by the participants.
La dynamique sur les espaces de modules des surfaces de translation a connu un un important essor au cours des deux dernières décennies. Ce sous domaine de la théorie ergodique se situe au carrefour de la dynamique des actions des groupes de Lie et de la géométrie des surfaces, et présente des liens étroits avec la théorie des billards rationnels, les échanges d’intervalles, la théorie de Teichmüller, la géométrie algébrique, la théorie des nombres, la physique mathématique, et plus encore. Une grande partie des travaux sur la dynamique des espaces de surfaces de translation a été motivée par une analogie fructueuse avec l’étude des actions des groupes de Lie sur les espaces homogènes. Dans un tel dictionnaire hypothétique, le flot horocyclique sur les espaces de modules correspond à un flot unipotent sur un espace homogène, pour lequel Ratner a montré que les adhérences d’orbites et les mesures invariantes admettent une description algébrique. Les célèbres théorèmes de la « baguette magique » d’Eskin, Mirzakhani et Mohammadi peuvent être considérés comme une confirmation de l’existence d’un tableau correspondant pour les espaces de modules des surfaces de translation.
Cependant, des travaux récents de Chaika, Smillie et Weiss indiquent que le comportement du flot horocyclique dans ces espaces est plus complexe que ce que cette simple analogie pourrait suggérer. Ce projet vise à approfondir notre compréhension du flot horocyclique au sein de sous-lieux spécifiques des espaces de modules, connus sous le nom de lieux linéaires invariants de rang 1.
Cela poursuit un travail collaboratif initié en 2021 par les participants.
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