Les splines lisses sur les triangulations présentent de nombreux avantages par rapport à d’autres approches. Par exemple, une grande régularité conduit à une grande précision par degré de liberté. Cependant, pour obtenir une régularité maximale couplée à des constructions locales, des macro-structures non triviales sont nécessaires. Récemment, nous avons proposé des bases de splines simplex locales pour les espaces des splines de degré d et de régularité d-1 sur toutes les triangulations données, adéquatement affinées au moyen des macro-éléments Wang-Shi (WS) correspondants, pour d=2,3,4. Ces bases rendent le traitement de la géométrie complexe de leur macro-structure abordable, car elles évitent intrinsèquement de considérer des représentations polynomiales séparées dans divers micro-éléments.
Nous visons à étudier l’applicabilité de tels espaces de splines et leur représentation dans le contexte de l’analyse par éléments finis et de l’analyse isogéométrique. Dans cette perspective, afin d’exploiter leur potentiel, il est nécessaire de disposer de règles de quadrature adaptées au-delà de l’approche élément par élément. Comme première étape préliminaire dans cette direction, nous avons fourni dans un article précédent des règles de quadrature pondérées pour les éléments finis de splines quadratiques C1 sur la division WS correspondante. Les prochaines étapes consistent à traiter les cas des splines cubiques C2, probablement l’espace de splines le plus intéressant du point de vue de l’application, et des splines quartiques C3. La généralisation des résultats des splines quadratiques C1 aux splines cubiques C2 et quartiques C3 s’avère beaucoup plus difficile en raison des macro-structures beaucoup plus complexes, et nécessite probablement l’introduction de nouvelles approches.