RESEARCH IN RESIDENCE
Arithmetic and Geometry of Apollonian Packings
Arithmétique et géométrie des empilements apolloniens
5 – 9 May, 2025
Participants
Matthew Litman (University College Dublin)
Iván Rasskin (Aix-Marseille Université)
Apollonian circle packings (ACPs) have become a rich source of intriguing problems connecting many mathematical disciplines. One central problem is the local-to-global conjecture which asserts that any large number passing certain local (modulo 24) obstructions should appear in a given ACP. A recent striking result is the failure of the general local-to-global conjecture for ACPs by finding certain quadratic and quartic families which are never present in specific packings. However, there still remain some packings for the which the conjecture is open. Their impactful work demonstrates the deep connection between the algebra of a packing and the arithmetic of its curvatures. This project aims to further elucidate this connection by considering geometric and combinatorial aspects of ACPs and how they relate to the local-to-global behaviour of a packing. In particular, we would like to study the relationship between the geometry, algebra, arithmetic, and combinatorics of such circle arrangements. More concretely, we want to understand the relation between the intrinsic geometry of a packing, the algebra of its symmetries, the combinatorics of its associated graph relating quadruples to one another, and the values of the curvatures that arise in any given packing.
Les empilements de cercles apolloniens (ACPs) sont devenus une source riche de problèmes fascinants reliant de nombreuses disciplines mathématiques. Un problème central est la conjecture locale-globale, qui
affirme que tout grand nombre passant certaines obstructions locales (modulo 24) devrait apparaître dans un ACP donné. Un résultat récent et important montre l’échec de la conjecture locale-globale générale pour les ACPs, en identifiant certaines familles quadratiques et quartiques qui ne sont jamais présentes dans des empilements spécifiques. Cependant, il existe encore des empilements pour lesquels la conjecture reste ouverte. Leur travail marquant met en évidence la connexion profonde entre l’algèbre d’un empilement et l’arithmétique de ses courbures. Ce projet vise à approfondir cette connexion en considérant les aspects géométriques et combinatoires des ACPs et leur relation avec le comportement locale-globale d’un empilement. En particulier, nous souhaitons étudier la relation entre la géométrie, l’algèbre, l’arithmétique et la combinatoire de telles configurations de cercles. Plus concrètement, nous voulons comprendre la relation entre la géométrie intrinsèque d’un empilement, l’algèbre de ses symétries, la combinatoire de son graphe associé reliant les quadruples entre eux , et les valeurs des courbures qui apparaissent dans un empilement donné.