En 1993, Hörmander et Bernhardsson ont étudié le problème extrémal suivant : parmi toutes les fonctions intégrables sur R dont l’intégrale vaut un, et qui sont limitées en bande (c’est-à-dire dont le support de la transformée de Fourier est contenu dans [−π, π]), quelle est la valeur maximale que |f(0)| peut atteindre ? Cette constante apparaît naturellement dans plusieurs problèmes d’approximation. Hörmander et Bernhardsson ont trouvé une approximation remarquablement précise de sa valeur, et leur travail a suggéré plusieurs propriétés intéressantes de la fonction extrémale. Nous prévoyons d’entreprendre une étude approfondie de cette fonction extrémale afin de vérifier ces propriétés et, en fait, d’établir des résultats plus précis. En particulier, la connaissance de la distribution asymptotique de ses zéros devrait révéler un degré remarquable de régularité de la transformée de Fourier de la fonction extrémale sur l’intervalle fermé [−π, π]. Des études ultérieures examineront les propriétés des contreparties L^p de cette fonction extrémale pour p≠1, 2.