Scientific Committee & Organizing Commitee
Comité scientifique & Comité d’organisation
Michel Brion (CNRS, Université Grenoble Alpes)
Ana-Maria Castravet (Université de Versailles)
Juergen Hausen (Tübingen University)
Emmanuel Peyre (Université Grenoble Alpes)
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This research school is an ”Etats de la Recherche” session of Société Mathématique de France. It aims at giving an introduction to Cox rings and presenting a number of recent developments related to this notion.
Cox rings have been introduced at the beginning of this century and are being extensively investigated. The Cox ring (or total coordinate ring) of an algebraic variety X is an object from commutative algebra: a multigraded ring with homogeneous components being (in loose terms) the spaces of global sections of divisors on X. This algebraic invariant contains much geometric information on the variety, and features prominently in birational geometry.
The theory of Cox rings relies on a rather simple construction, which only uses basic notions of algebraic geometry. It leads to the study of many classes of examples and open questions, of varying difficulty. This theory has seen recent advances in several directions:
– arithmetic geometry, in relation to universal torsors (see the work of Browning, Derenthal, Pieropan,… on the enumeration of rational points of bounded height),
– birational geometry and invariant theory (Mukai’s work on Hilbert’s 14th problem; work of Castravet, Laface, Tevelev, Ugaglia on the finite generation of the cone of effective divisors),
– singularities (work of Arzhantsev, Braun, Greb, Hausen, Langlois, Moraga, Wrobel on iteration of Cox rings and quotient singularities).
– classification of Fano varieties (Hausen, Laface, Wrobel,…),
– toric vector bundles: structure and Mori dream property (Kaveh, Manon, Hering, Süss,…),
– varieties with group actions: structure of the Cox ring (Vézier, Laface, Hausen, Süss,…).
Il s’agit d’une session ”Etats de la Recherche” de la Société Mathématique de France. L’objectif est de donner une introduction aux anneaux de Cox et de présenter un certain nombre de développements récents qui leur sont liés.
Introduit au début du siècle, l’anneau de Cox (ou anneau total des coordonnées) d’une variété algébrique X est un objet d’algèbre commutative : un anneau multigradué, dont les composantes homogènes sont en gros les espaces de sections des diviseurs sur X. Cet invariant algébrique contient beaucoup d’informations géométriques sur la variété, et joue un rôle important en géométrie birationnelle.
La théorie des anneaux de Cox repose sur une construction assez simple, qui ne met en œuvre que des notions de base de géométrie algébrique. Elle motive l’étude de nombreuses classes d’exemples et questions ouvertes, de difficulté variable. Cette théorie a connu des développements récents dans plusieurs directions :
– géométrie arithmétique, en relation avec les torseurs universels (voir les travaux de Browning, Derenthal, Pieropan,… sur le comptage des points rationnels de hauteur bornée),
– géométrie birationnelle et théorie des invariants (travaux de Mukai sur le 14ème problème de Hilbert ; travaux de Castravet, Laface, Tevelev et Ugaglia sur la génération finie du cône des diviseurs effectifs),
– singularités (travaux de Arzhantsev, Braun, Greb, Hausen, Langlois, Moraga, Wrobel sur l’itération des anneaux de Cox et les singularités quotient).
– classification des variétés de Fano (Hausen, Laface, Wrobel,…),
– fibrés vectoriels toriques (Kaveh, Manon, Hering, Süss,…),
– variétés avec action de groupe : structure de l’anneau de Cox (Vézier, Laface, Hausen, Süss,…).
MINI-COURSES
Michel Brion (CNRS, Université Grenoble Alpes)
Ana-Maria Castravet (Université de Versailles)
Jürgen Hausen (Tübingen University)
Emmanuel Peyre (Université Grenoble Alpes)
RESEARCH TALKS
Michela Artebani (Concepción University)
Ivan Arzhantsev (HSE University)
Lukas Braun (Innsbruck University)
Ulrich Derenthal (Leibniz University Hannover)
Loïs Faisant (IST Austria)
David Harari (Université Paris-Sud)
Brendan Hassett (Brown University)
Kiumars Kaveh (University of Pittsburgh)
Antonio Laface (Concepción University)
Chris Manon (University of Kentucky)
Joaquín Moraga (UCLA)
Marta Pieropan (Utrecht University)
Mattia Pirani (University of Pisa)
Damaris Schindler (Goettingen University)
Alexei Skorobogatov (Imperial College London)
Yuri Tschinkel (New York University)
Florian Wilsch (University of Göttingen)
Milena Wrobel (Otto von Guericke University Magdebur)
SPONSORS
