RESEARCH IN RESIDENCE
On finite conditions of skew braces
Sur les conditions finies des skew braces
28 April – 2 May, 2025
Participants
Esteban-Romero Ramon (University of Valencia)
Maria Ferrara (University of Campania Luigi Vanvitelli)
Vicent Pérez Calabuig (University of Valencia)
The Yang-Baxter equation (YBE) is a fundamental equation which was introduced by Yang and Baxter within their studies in quantum and statistical mechanics, respectively. The study of settheoretical solutions has received a great attention in this century due to the numerous connections with other areas, such as knot theory, quantum groups and Hopf algebra, among others.
The major problem of classifying set-theoretical solutions requires the use of algebraic and combinatorial methods, since some prescribed properties of set-theoretical solutions are determined by the action of some new algebraic structures. Concretely, the classification of bijective non-degenerate set-theoretical solutions (solutions, for short) undoubtedly passes throughout the algebraic study of skew braces. The key idea here is that every skew brace provides a solution of the YBE, and viceversa, every solution comes from a restriction associated with a skew brace, the so-called skew brace structure of a solution.
Since the skew brace structure of a solution is an infinite algebraic structure, the classification of solutions definitely calls for the analysis of finite conditions of skew braces. Recently, skew braces satisfying the maximal (resp. minimal) condition on ideals have been introduced. We call them, respectively, i-noetherian and i-artinian skew braces. In particular, the skew brace structure of a finite solution turns out to be i-noetherian. The inspiration source of this project is a Hall’s seminal work on finiteness conditions for soluble groups. It stands out that every soluble group satisfying the maximal condition on normal subgroups is finitely generated. Furthermore, the converse holds for the case of abelian-by-polycyclic groups. In case of locally nilpotent groups, McLain and Hall went further as they proved that the maximal condition on normal subgroups and on subgroups coincide.
Bearing in mind that a skew brace involves an interaction between two group structures, the main aim of this project is to find extensions of these results to the case of skew braces and to explore the influence of these results in the classification problem of solutions. In this light, it is imperative to recover previous works on soluble and supersoluble skew braces, polycyclic and almost polycyclic skew braces, as well as centrally nilpotent skew braces.
L’équation de Yang-Baxter (ÉYB) est une équation fondamentale qui a été exposée pour la première fois par Yang et Baxter, respectivement, dans leurs études en mécanique quantique et statistique. L’étude des solutions ensemblistes a reçu une grande attention au cours de ce siècle grâce aux nombreuses liens avec d’autres domaines, tels que la théorie des nœuds, les groupes quantiques et les algèbres de Hopf, entre d’autres.
La classification des solutions ensemblistes est un des problèmes qui attire plus l’attention des spécialistes. Ce problème a besoin de l’utilisation de méthodes algébriques et combinatoires, car certaines propriétés prescrites des solutions ensemblistes sont déterminées par l’action de certaines structures algébriques. Concrètement, la classification des solutions ensemblistes bijectives non dégénérées (solutions, en abrégé) passe, sans aucun doute, par l’étude algébrique des skew braces, qui peuvent être considérées comme une généralisation des anneaux radicaux de Jacobson. L’idée clé est que chaque skew brace fournit une solution de l’ÉYB, et vice versa, chaque solution provient d’une restriction associée à une skew brace ; ce qu’on appelle la structure de skew brace d’une solution.
Puisque la structure des skew braces d’une solution est une structure algébrique infinie, la classification des solutions réquiert définitivement de l’analyse des conditions de finitude des skew braces. Récemment, ont a introduit les skew braces satisfaisant la condition maximale (respectivement, minimale) sur les idéaux. On les appelle, respectivement, skew braces i-noethériennes et i-artiniennes. En particulier, la structure de skew brace d’une solution finie devient i-noethérienne.
La source d’inspiration de ce projet est un article précurseur de Hall sur les conditions de finitude pour les groupes résolubles. Le résultat suivant ressort : tout groupe résoluble satisfaisant la condition
maximale sur les sous-groupes distingués est finiment engendré. En outre, la réciproque est vraie pour le cas des groupes abéliens-par-polycycliques. Dans le cas de groupes localement nilpotents, McLain and Hall démontrent qu’on peut en dire plus : la condition maximale sur les sous-groupes distingués et la condition maximale sur les sous-groupes coïncident.
Sans perdre de vue qu’une skew brace implique une interaction entre deux structures de groupe, l’objectif principal de ce projet est de trouver des extensions de ces résultats au cas des skew braces et d’explorer les influence de ces résultats dans le problème de classification des solutions. Dans cette perspective, il est impératif de récupérer les travaux antérieurs sur les skew braces résolubles et superrésolubles, les skew braces polycycliques et presque polycycliques, ainsi que les skew braces nilpotentes centralement.
SPONSOR
