La classification des mapping classes (homéomorphismes préservant l’orientation, à homotopie près) des surfaces orientables, due à Nielsen et Thurston, est un résultat fondamental dans l’étude des surfaces et des variétés de dimension trois. Le résultat est valable pour les surfaces de type fini, c’est-à-dire celles dont le groupe fondamental est de type fini. L’objectif principal de ce projet est d’étendre cette classification aux surfaces de type infini, c’est-à-dire aux surfaces dont le groupe fondamental n’est pas de type fini.
Dans un travail récent, nous avons prouvé un théorème de classification pour une famille spéciale de mapping classes, appelées extra tame. En gros, notre résultat montre que les éléments extra-tame sont ceux obtenus en combinant des translations et des éléments d’ordre fini avec suppors sur des sous-surfaces disjointes. Très peu de résultats sont connus en termes de classification pour les surfaces de type infini, l’exception la plus notable étant le travail de Handel et Miller (développé par Cantwell, Conlon et Fenley) sur les mapping classes endpériodiques des surfaces ayant un nombre fini de bouts.
Notre premier objectif est d’étendre notre travail à la famille des mapping classes tame, en utilisant des techniques issues de la théorie de la mesure. Le second objectif est de s’attaquer à la classe des éléments présentant une dynamique similaire à celle des classes de cartographie pseudo-Anosov des surfaces de type fini.