RESEARCH IN RESIDENCE
Design of optimal quadrature rules for maximally smooth splines on triangulations
Règles de quadrature optimales pour des splines lisses au maximum sur les triangulations
23 – 27 June, 2025
Participants
Tom Lyche (University of Oslo)
Carla Manni ((University of Rome)
Hendrik Speleers (University of Rome)
Quadrature rules are a fundamental tool in several areas of numerical analysis. In particular, they play a prominent role in the Galerkin finite element method for the discretization of differential problems.
Smooth splines on triangulations offer a natural and effective alternative to (local) tensor-product structures in modeling and simulation, and in particular within the isogeometric analysis framework, where the interelement high smoothness is beneficial for the whole approximation process, since it results in a high accuracy per degree of freedom.
Dealing with highly smooth splines on general triangulations is an arduous task. To achieve maximal smoothness coupled with local constructions, nontrivial macro-structures are necessary. In recent papers, we have proposed local simplex spline bases for the space of splines of degree d and smoothness d-1 on any given triangulation, suitably refined by means of the corresponding Wang-Shi (WS) macro-elements, for d=2,3,4. This basis makes the treatment of the complex geometry of the macro-structure affordable, because it intrinsically avoids to consider separate polynomial representations.
We aim to investigate the applicability of such spline spaces and their representation in the context of finite element analysis and isogeometric analysis. In this perspective, in order to exploit the potential of the spaces, there is a need for tailored quadrature rules beyond the element-wise approach. As a first preliminary step in this direction, weighted quadrature rules for C1 quadratic spline finite elements on the corresponding WS split have been provided in a recent paper. The next step consists in addressing the case of C2
cubic splines, probably the most interesting spline space from the application point of view. Generalizing the results from C1 quadratic to C2 cubic splines is far from straightforward because of the much more complicated macro-structure we have to deal with.
Les règles de quadrature sont un outil fondamental dans plusieurs domaines de l’analyse numérique. En particulier, ils jouent un rôle de premier plan dans la méthode de Galerkin avec des éléments finis pour la discrétisation des problèmes différentiels.
Les splines lisses sur les triangulations offrent une alternative naturelle et efficace aux structures de produits tenseurs (locaux) dans la modélisation et la simulation, et en particulier dans le cadre de l’analyse isogéométrique, où la grande régularité inter-éléments est bénéfique pour l’ensemble du processus
d’approximation, car elle aboutit à un grande précision par degré de liberté.
Traiter des splines très lisses sur des triangulations générales est une tâche ardue. Pour obtenir une régularité maximale couplée à des constructions locales, des macros-structures complexes sont nécessaires. Dans des articles récents, nous avons proposé des bases de splines simplex locales pour l’espace des splines de degré d et de régularité d-1 sur la triangulation donnée, convenablement affinées au moyen des macro-éléments de Wang-Shi (WS) correspondants, pour d=2,3,4. Cette base rend abordable le traitement de la géométrie complexe de la macro-structure, car elle évite intrinsèquement de considérer des représentations polynomiales séparées.
Nous visons à étudier l’applicabilité de tels espaces splines et leur représentation dans le contexte de l’analyse par éléments finis et de l’analyse isogéométrique. Dans cette perspective, afin d’exploiter le potentiel des espaces, il est nécessaire de disposer de règles de quadrature adaptées au-delà de l’approche élément par élément. Comme première étape préliminaire dans cette direction, des règles de quadrature pondérées pour les éléments finis splines quadratiques C1 sur la division WS correspondante ont été fournies dans un article récent. L’étape suivante consiste à aborder le cas des splines cubiques C2, probablement l’espace spline le plus intéressant du point de vue applicatif. Généraliser les résultats des splines quadratiques C1 aux splines cubiques C2 est loin d’être simple en raison de la macro-structure beaucoup plus complexe à laquelle nous devons faire face.
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