RESEARCH IN RESIDENCE
Eigenvectors of matrices under small noise perturbations
Vecteurs propres de matrices perturbées par un bruit faible
3 – 7 February, 2025
Participants
Anirban Basak (ICTS-TIFR)
Martin Vogel (CNRS, Université de Strasbourg)
Ofer Zeitouni (Weizmann Institute of Science)
Let A denote a (deterministic) Toeplitz matrix of dimension N, and let G denote a matrix of dimension N with iid standard Gaussian entries. Consider the matrix X = A + N −γG. Work of the PI’s has established that for γ > 1/2, under mild conditions the empirical measure of the eigenvalues converges to the push forward of the uniform measure of the unit circle in the complex plane by the symbol associated with A.
A natural follow up question concernes the eigenvectors of X. In joint work (published in 2023), the PIs showed that when γ > 1, most of the eigenvectors are localized at scale N/ log N.
The situation for γ < 1 changes dramatically. In fact, simulations show that the eigenvectors are typically not localized. Theoretical analysis based on the Grushin problem predicts that the eigenvectors have correlation length of order N2γ−1.
When trying to make rigorous this prediction, we discovered that certain quantitative versions of quantum unique ergodicity are needed. This research in residence will allow us to prepare such a statemnt, of independent interest, based on the work of Erdos and co-workers. This is a crucial element needed in order to complete our program.
Soit A une matrice de Toeplitz (déterministe) de dimension N, et soit G une matrice de dimension N avec entrées iid gaussiennes standardes. Considérons la matrice X = A + N −γG. Le travail des PI a établi que pour γ > 1/2, la mesure empirique des valeurs propres converge vers le push forward de la mesure uniforme sur le cercle unité dans le plan complexe par le symbole associé à A.
Une question complémentaire naturelle concerne les vecteurs propres de X. Dans un travail conjoint (publié en 2023), les PI ont montré que lorsque γ > 1, la plupart des vecteurs propres sont localisés à l’échelle N/ log N.
La situation pour γ < 1 change radicalement. En fait, les simulations montrent que les vecteurs propres ne sont généralement pas localisés. Une analyse théorique basée sur le problème Grushin prédit que les vecteurs propres ont une durée de corrélation
d’ordre N2γ−1.
En essayant de justifier cette prédiction de manière rigoureuse, nous avons découvert que certaines versions quantitatives de l’ergodicité quantique unique sont nécessaires.
Cette recherche en résidence nous permettra de préparer un tel théorème, d’intérêt indépendant, basée sur le travail d’Erdos et de ses collaborateurs. Il s’agit d’un élément crucial nécessaire pour compléter notre programme.
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