WORKSHOP
Harmonic analysis of the Heisenberg group
Analyse harmonique du groupe de Heisenberg
1 – 5 July, 2024
Participants
Jean-Yves Chemin (Institut Camille Jordan, Lyon)
Raphaël Danchin (Université Paris-Est Créteil)
In a book entitled « Fourier Analysis and Nonlinear Partial Differential Equations » published in 2011 by Springer (Grundlehren mathematischen Wissenschaften) and written by three authors (Hajer Bahouri, Jean-Yves Chemin and Raphaël Danchin), we presented the state of the art of Fourier analysis methods, in relation to the study of evolutionary Partial Differential Equations posed in the whole space. This book, which aimed at filling a gap in the mathematical community, quickly met a great success and is now widely quoted all over the world. Therefore, it seemed natural to us to propose a similar book dealing with a non-Euclidean situation. We focused on the Heisenberg group which is the « simplest » noncommutative infinite setting in which one can define a Fourier transform, and hope to find results similar to those of the Euclidean case. In particular, we define a « frequency space » and construct a Littlewood-Paley decomposition whose properties are, miraculously enough, very close to those of the Euclidean case. In the second part of the book, we present an elementary theory of the Weyl-Hörmander calculus, and show the links with the first part, via the trace problem and the solution of the Dirichlet problem for the subelliptic Laplacian of the Heisenberg group. A first manuscript of 450 pages has been submitted to Grundlehren mathematischen Wissenschaften in November 2021, and we have received three reports, one of 24 pages, positive, but asking for substantial modifications. Some of these requests require major changes in presentation.
Dans un livre intitulé « Fourier Analysis and Nonlinear Partial Differential Equations » paru en 2011 chez Springer (Grundlehren mathematischen Wissenschaften) et écrit à trois auteurs (Hajer Bahouri, Jean-Yves Chemin et Raphaël Danchin), nous avons présenté l’état de l’art des méthodes d’analyse de Fourier, en relation avec l’étude des équations aux dérivées partielles d’évolution
posées dans l’espace entier. Ce livre, qui visait à pallier un manque dans la communauté mathématique, a rapidement rencontré un grand succès et est maintenant abondamment cité de par le monde. De ce fait, il nous est paru naturel de proposer un ouvrage similaire traitant une situation non euclidienne. Nous nous
sommes concentrés sur le groupe de Heisenberg qui est le cadre infini non commutatif et localement compact le plus simple dans lequel on peut définir une transformée de Fourier. Dans notre livre, nous définissons notamment un « espace de fréquences » et construisons une décomposition de Littlewood-Paley dont les propriétés sont, assez miraculeusement, très proches de celles du cas euclidien. En deuxième partie de livre, nous présentons une théorie élémentaire du calcul de Weyl-Hörmander, et montrons les liens avec la première partie, via le problème des traces et la résolution du problème de Dirichlet pour le laplacien sous-elliptique du groupe de Heisenberg. Un premier manuscrit de 450 pages a été soumis à Grundlehren Mathematischen Wissenschaften en novembre 2021, et nous avons reçu trois rapport, dont l’un de 24 pages, positifs, mais demandant des modifications substantielles. Certaines de ces demandes nécessitent des changements de présentation importants.