Je présenterai une manière de construire des arbres aléatoires basée sur les minorants convexes de fonctions (aléatoires). Dans le cas Brownien, cette procédure est reliée au coalescent additif et à l’arbre continu Brownien, c’est-à-dire la limite d’échelle d’arbres uniformes, et de la fragmentation naturelle qui consiste à retirer les arêtes dans un ordre aléatoire. En modifiant un peu la fonction de départ, on obtient un arbre lié au coalescent multiplicatif (graphes aléatoires) et à l’arbre couvrant minimum d’un graphe complet pondéré aléatoirement. Cette construction conduit aussi à la définition naturelle de nouveaux processus de coalescence/fragmentation liés à des graphes aléatoires contraints et/ou à la percolation d’invasion avec sources multiples. L’exposé sera basé sur des travaux en commun avec J.-F. Marckert d’une part et Arthur Rousseau d’autre part.

On assigne à chaque sommet v d’un graphe G une étiquette aléatoire l(v) de k bits, et on veut qu’il existe un décodeur déterministe D(.,.) tel que pour toute paire de sommets u,v de G, D(l(u),l(v)) dit si oui ou non u et v sont adjacents dans G, de manière correcte avec probabilité au moins 2/3.
On souhaite que D dépende uniquement de la classe de graphe qu’on considère (et pas de chaque graphe G dans la classe) et le problème le plus basique est de comprendre les classes de graphes pour lesquelles on peut choisir des étiquettes de taille k constante. C’est équivalent au fait de comprendre les (familles de) problèmes dont la complexité de communication aléatoire est constante. J’expliquerai ce lien et les différences fondamentales avec la version complètement déterministe du problème, je donnerai quelques résultats positifs et finalement mentionnerai un certain nombre de questions ouvertes.
Travail en commun avec Nathan Harms et Andrey Kupavskii.

Dans cet exposé, je parlerai de deux travaux récents: le premier sur l’utilisation des grands modèles de langage pour la formalisation des mathématiques et le second sur l’utilisation d’architectures de réseaux de neurones graphiques pour apprendre des problèmes d’optimisation combinatoire.

Many classical sequences of integers have well established q-analogs. The most fundamental ones are certainly the q-integers and the q-binomial coefficients which both appear in various areas of mathematics and physics. With Valentin Ovsienko we recently suggested a notion of q-rational numbers based on combinatorial properties and on continued fraction expansions. The definition of q-rationals naturally extends the one of q-integers and leads to a ratio of polynomials with positive integer coefficients. Several enumerative interpretations of the coefficients can be given. The construction of q-rationals naturally leads to definitions of q-irrationals and q-unimodular matrices. Developments in various directions have been suggested. In particular there are connections with the combinatorics of posets, cluster algebras, homological algebra, braid groups and knots invariants. In this talk I will give an overview of the subject, starting with the basic definitions and properties of the q-rationals and ending with recent results on the Burau representation of the braid group.