RESEARCH IN RESIDENCE
Measurings of entwining structures and morphisms in (co)homology theories
Les mesures entre les structures enlacees et morphismes en cohomologie
25 November – 6 December, 2024
Participants
Abhishek Banerjee (Indian Institute of Science, Bangalore)
Surjeet Kour (Indian Institute of Technology, Delhi)
The notion of measurings between algebras is a classical one. It was introduced by Sweedler as a kind of generalized morphism between algebras. A measuring of algebras consists of a family of linear maps parametrized by a coalgebra, which is well behaved with respect to the coproduct. For each pair of algebras, one has a universal measuring coalgebra, also called the “Sweedler Hom.” This gives an enrichment of the category of algebras over the category of coalgebras. The motivation for our project comes from an analogy with algebraic geometry. In algebraic geometry, the category of schemes is linearized by adding correspondences, which behave like generalized morphisms. Accordingly, the correspondences induce maps between cohomology theories of schemes. Similarly, the category of algebras is linearized by adding measurings, which behave like generalized morphisms. Since algebras are seen as noncommutative spaces, we ask if algebra measurings induce morphisms between (co)homology theories of algebras. In previous work, we have used measurings construct morphisms between : (1) Hochschild homology groups of algebras, (2) Chevalley-Eilenberg homology of Lie algebras, and (3) Homology of algebras over operads. More recently, we have used measurings to obtain morphisms between Hochschild and cyclic (co)homology of Hopf algebroids. This is motivated by the role that the Hopf cyclic cohomology of Connes and Moscovici plays in noncommutative geometry. The most general context in which one can define measurings is that of the entwining structures of Brzezinski and Majid. Accordingly, we hope that we will be able to use measurings of entwining structures to induce morphisms between their cohomology theories. The relevant cohomology theory in this case would be the Hochschild cohomology of entwining structures introduced by Brzezinski, as well as its extension to a cyclic theory.
La notion de mesures entre les algèbres est classique. C’était introduit par Sweedler comme les morphismes généralisés entre les algèbres. Une mesure d’algèbres consiste d’une famille de morphismes linéaires paramétre par une cogèbre, qui comporte bien vis-à-vis du coproduit. Pour chaque paire d’algèbres, on a une algèbre universelle de mesure, aussi dit le « Hom de Sweedler ». Ceci nous donne un enrichissement de la catégorie d’algèbres sur la catégorie des cogèbres. Notre motivation est une analogie avec la géométrie algébrique. On peut linéairiser la catégorie des schémas en ajoutant les correspondances, qui joue le rôle des morphismes généralisés. Ainsi, les correspondances induisent des morphismes entre les théories de cohomologie. De même, la catégorie d’algèbres est linéairisée en ajoutant les mesures. On peut traiter les algèbres comme les espaces noncommutatifs. Donc, on pose la question suivante : est-il-possible d’obtenir des morphismes entre les théories de cohomologie en utilisant les mesures ? Dans nos travaux précédents, nous avons utilisé les mesures pour construire des morpismes entre (1) Homologie de Hochschild pour les algèbres, (2) Homologie de Chevalley-Eilenberg pour les algèbres de Lie, et (3) Homologie d’algèbres sur les opérades. Plus récémment, nous avons utilisé les mesures pour obtenir les morphismes entre les homologie de Hochschild et homologie cyclique pour les algébroides de Hopf. Ceci est motivé par le rôle de cohomologie cyclique de Hopf (d’après Connes et
Moscovici) dans la géométrie noncommutative. Le contexte le plus général des mesures, c’est pour les structures d’enlacement introduites par Brzezinski et Majid. Nous espérons d’obtenir des morphismes entre leurs groupes de cohomologie, en utilisant les mesures. Dans ce cas, la théorie de cohomologie est la cohomologie de Hochschild pour les structures d’enlacement introduite par Brzezinski, aussie que sa prolongement à une théorie cyclique.
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