RESEARCH IN RESIDENCE
Unconditionally stable conforming space-time methods for the Schrödinger equation
Méthodes d’espace-temps conformes inconditionnellement stables pour l’équation de Schrödinger
17 – 21 February, 2025
Participants
Matteo Ferrari (University of Vienna)
Sergio Alejandro Gómez Macias (University of Milano-Bicocca)
This project focuses on the development of unconditionally stable conforming space—time methods for the linear time‑dependent Schrödinger equation. The main challenge is to overcome the lack of inf‑sup stability in the standard Petrov‑Galerkin formulation for this equation. In fact, the conforming space—time finite element discretization requires a restrictive CFL condition. To address this issue, we propose two approaches.
‑The first one is to augment the sesquilinear form of the standard scheme by adding a carefully chosen inconsistent penalty term to improve the discrete properties of the scheme. By introducing this term, we aim to improve stability without compromising convergence order.
‑The second approach involves the composition of the continuous sesquilinear form with an appropriate transform of the test functions. This modification aims to endow the new sesquilinear form with higher stability properties than its unmodified counterpart.
Ce projet se concentre sur le développement de méthodes spatio‑temporelles conformes inconditionnellement stables pour l’équation de Schrödinger linéaire dépendante du temps. Le défi principal est de surmonter le manque de stabilité inf‑sup dans la formulation Petrov‑Galerkin standard pour cette équation. En fait, la discrétisation par éléments finis conforme à l’espace‑temps nécessite une condition CFL restrictive. Pour résoudre ce problème, nous proposons deux approches.
‑La première consiste à augmenter la forme sesquilinéaire du schéma standard en ajoutant un terme de pénalité incohérent soigneusement choisi pour améliorer les propriétés discrètes du schéma. En introduisant ce terme, nous visons à améliorer la stabilité sans compromettre l’ordre de convergence.
‑La deuxième approche implique la composition de la forme sesquilinéaire continue avec une transformation appropriée des fonctions de test. Cette modification vise à doter la nouvelle forme sesquilinéaire de propriétés de stabilité supérieures à celles de son homologue non modifié.
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