RESEARCH IN RESIDENCE
On the growth of the numerical semigroups tree
Sur la croissance de l’arbre des semigroupes numériques
18 – 22 November, 2024
Participants
Maria Bras-Amorós (Rovira i Virgili University)
Shalom Eliahou (Université du Littoral Côte d’Opale)
Numerical semigroups are cofinite submonoids of the nonnegative integers. Introduced by Sylvester in the 19th century, they are involved in many mathematical branches and remain the subject of very challenging conjectures. Let n(g) denote the number of numerical semigroups of genus g, i.e. with g gaps. The sequence n(g) remains poorly understood. Maria Bras-Amorós conjectured in 2006 that n(g) ≥ n(g-1) + n(g-2) for all g ≥ 2. The weaker inequality n(g) ≥ n(g-1) has been shown to hold asymptotically by Alex Zhai in 2013, yet it remains an open problem to prove it for all g ≥ 1. Our aim in this project is to make progress towards both forms of this conjecture. Recently introduced tools, in particular gapset filtrations [Eliahou-Fromentin 2020] allowed to prove the strong form of the conjecture in the generic case, when the conductor c and the multiplicity m satisfy c ≤ 3m. Another promising tool is the use of Kunz coordinates in this context. The full potential of these new methods remains to be investigated. This is what we intend to do in this research project, so as to pave the way for advances on the Bras-Amorós conjecture and/or its weaker form.
Les semigroupes numériques sont des sous-monoïdes cofinis des entiers non négatifs. Introduits par Sylvester au 19ème siècle, ils sont impliqués dans de nombreuses branches des mathématiques et restent le sujet de conjectures très difficiles. Soit n(g) le nombre de semigroupes numériques de genre g, c’est-à-dire avec g trous. La suite n(g) reste mal comprise. Maria Bras-Amorós a conjecturé en 2006 que n(g) ≥ n(g-1) + n(g-2) pour tout g ≥ 2. L’inégalité plus faible n(g) ≥ n(g-1) a été établie asymptotiquement par Alex Zhai en 2013, mais cela reste un problème ouvert de la prouver pour tout g ≥ 1. Notre objectif dans ce projet est de faire des progrès sur les deux formes de cette conjecture. Des outils récemment introduits, en particulier les filtrations de gapsets [Eliahou-Fromentin 2020] ont permis de prouver la forme forte de la conjecture dans le cas générique, lorsque le conducteur c et la multiplicité m satisfont c ≤ 3m. Un autre outil prometteur est l’utilisation des coordonnées de Kunz dans ce contexte. Le potentiel de ces nouvelles méthodes reste à explorer plus en profondeur. C’est ce que nous comptons faire dans ce projet de recherche, afin d’ouvrir la voie à des avancées sur la conjecture de Bras-Amorós et/ou sa forme plus faible.
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