RESEARCH IN RESIDENCE
On lambda-critical skew braces: classification and applications for Hopf–Galois structures and the Yang–Baxter equation
Sur les skew braces lambda-critiques: classification et applications aux structures de Hopf–Galois et l’équation de Yang-Baxter
14 – 18 October 2024
Participants
The Yang–Baxter equation (YBe) stands as a foundational concept in statistical mechanics, originating from the independent studies of the Nobel prize-winning physicist Yang and the Boltzmann Medal-winning physicist Baxter. Its significance permeates various mathematical domains, including knot theory, quantum groups, and Hopf algebras.
Hopf–Galois structures (HGs) on field extensions, consisting of Hopf algebras together with suitable actions over fields, represent an extension of traditional Galois structures. These structures, introduced by Chase and Sweedler, have proven instrumental in applications within number theory and algebraic geometry. Despite the apparent distance, the YBE and HGs are interconnected through skew braces, algebraic structures introduced by Guarnieri and Vendramin as a generalisation of prior works by Rump.
The primary objective of this project is to study and characterise lambda-critical skew braces, that are the skew braces whose additive (or multiplicative) subgroups are invariant under the action of the natural map of the skew brace. This classification not only contributes essential structural insights to skew brace theory given the rich substructures inherent in the identified skew braces, aligning with recent developments in solubility and nilpotency concepts—but also yields critical information in two fundamental aspects:
(1) Identifying well-behaved set-theoretic solutions of the YBe, a connection
intimately tied to nilpotency concepts of skew braces.
(2) Unravelling Hopf–Galois structures for which the Hopf–Galois correspondence is bijective, a deep question with number-theoretic applications for which few examples are nowadays known (-invariance of the multiplicative ubgroups is equivalent to the existence of such structures).
The principal tools employed in this study involve power automorphisms of groups, and pre-Lie rings. The initial step involves an exploration of finite skew braces of prime power order, where the deep influence of power automorphisms becomes apparent. Additionally, recent work by Smoktunowicz establishes a oneto-one correspondence between strongly nilpotent skew braces of abelian type and nilpotent pre-Lie rings of cardinality pn, where p is a suciently large prime.
L’équation de Yang–Baxter (YBe) représente un concept fondamental en mécanique statistique, issu des études indépendantes du physiciens Yang et Baxter. Sa signification imprègne divers domaines des mathématiques, tels que la théorie des nœuds, les groupes quantiques et les algèbres de Hopf.
Les structures de Hopf–Galois (HGs) sur des extensions de corps, consistent en des algèbres de Hopf munies d’actions appropriées, et représentent une extension des structures de Galois traditionnelles. Ces structures, introduites par Chase et Sweedler, se sont révélées cruciales dans des applications en théorie des nombres et en géométrie algébrique. Malgré la distance apparente, l’YBe et les HGs sont interconnectées par le biais des skew braces, des structures algébriques introduites par Guarnieri et Vendramin en tant que généralisation des travaux antérieurs de Rump.
L’objectif principal de ce projet est d’étudier et de caractériser les skew braces lambda-critiques, qui sont les skew braces dont les sous-groupes additifs (ou multiplicatifs) sont invariants sous l’action de la fonction naturelle λ du crochet oblique. Cette classification apporte non seulement des perspectives structurelles essentielles à la théorie des skew braces, compte tenu des riches sous-structures inhérentes aux skew braces identifiées, s’alignant sur les développements récents dans les domaines de la solubilité et de la nilpotence, mais elle fournit également des informations cruciales dans deux aspects fondamentaux:
(1) Identification de bonnes solutions ensemblistes de l’YBe, une connexion étroitement liée aux concepts de nilpotence des skew braces.
(2) Démêler les structures Hopf–Galois pour lesquelles la correspondance Hopf– Galois est bijective, une question profonde avec des applications en théorie des nombres pour laquelle peu d’exemples sont connus de nos jours (l’invariance λ des sous-groupes multiplicatifs étant équivalente à l’existence de telles structures).
Les outils principaux utilisés dans cette étude impliquent les automorphismes puissants des groupes et les anneaux pré-Lie. La première étape consiste à explorer les skew braces finis d’ordre une puissance d’un nombre premier, où l’influence profonde des automorphismes puissants devient apparente. De plus, le travail récent de Smoktunowicz établit une correspondance bijective entre les skew braces fortement nilpotents de type abélien et les anneaux pré-Lie nilpotents de cardinalité pn, où p est un nombre premier suffisamment grand.
SPONSOR
