RESEARCH IN RESIDENCE
Explicit local solubility and applications
Solubilité locale explicite et des applications
9 – 20 June, 2025
The question of whether or not a collection of equations has a solution in the integers is notoriously challenging, with the answer depending heavily on the geometry of the constituent equations. An important reduction is localization – looking at the equations modulo a prime or over the real numbers. Having solutions locally is a key necessary condition for the equations to have an integral solution and much more tractable to determine explicitly. The proposed research involves determining explicit and exact expressions for how often certain families of equations have local solutions, which can sometimes yield explicit results for how often an equation has an integral solution. In particular, we propose an approach to determine how often a degree 3 polynomial in n+1 variables has an integral zero, by reducing to the local probabilities (via recent work of Browning, Le Boudec, and Sawin) and determining them by a careful recursive argument.
We also propose to find how often certain families of superelliptic curves fail to have integral solutions by determining how often they possess an etale descent obstruction. Both of these directions promise to shed light on producing a framework for studying the solubility properties of more general families of varieties.
Il est notoirement difficile de savoir si un ensemble d’équations a une solution dans les nombres entiers ; la réponse dépend de la géométrie des équations constitutives. Une réduction utile est la localisation — l’étude des équations modulo tout nombre premier p, et sur les nombres réels– puisque avoir des solutions localement est une condition nécessaire pour que les équations aient une solution intégrale. Vérifier s’il existe des solutions localement est beaucoup plus facile à déterminer explicitement.
La recherche proposée consiste à déterminer des expressions explicites et exactes de la fréquence avec laquelle certaines familles d’équations ont des solutions locales, ce qui peut parfois donner des résultats explicites sur la fréquence avec laquelle une équation a une solution intégrale. En particulier, nous proposons une approche pour déterminer la fréquence à laquelle un polynôme de degré 3 en n+1 variables possède un zéro intégral, en réduisant les probabilités locales (via les travaux récents de Browning, Le Boudec et Sawin) et en les déterminant par analyse minutieuse d’ arguments récursifs.
Nous proposons aussi de déterminer avec quelle fréquence certaines familles de courbes superelliptiques ne parviennent pas à avoir de solutions intégrales en déterminant avec quelle fréquence elles possèdent une obstruction de descente étale. Ces deux pistes de recherche promettent d’éclaircir une structure pour étudier les propriétés de solubilité de familles d’équations de variétés plus générales.
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