RESEARCH IN RESIDENCE
Projet BOUM de la SMAI

Small-time controllability of Liouville transport equations along an Hamiltonian field
Contrôlabilité en temps petit d’équations de transport de Liouville le long d’un champs Hamiltonien

13 – 17 May, 2024

Participants

Ivan Beschastnyi (Inria McTAO &University of Aveiro)
Eugenio Pozzoli (CNRS, Université de Rennes 1)

The controllability properties of partial differential equations driven by multiplicative control laws have attracted much interest in the last three decades, due to their technological relevance across natural sciences. The Schrödinger equation is a natural example of such dynamics, since in quantum mechanics the coupling between state and potential naturally appears in multiplicative form. There is a vast mathematical literature, established in the last two decades, concerning the multiplicative (bilinear) control of Schrödinger PDEs. As a matter of fact, quantum control is playing a fundamental role in the development of quantum technologies, and the connection between theory and experiments is real. However, very few is known concerning the small-time controllability properties of those systems.
On an intuitive level, thanks to the unboundedness of the Laplace operator, high frequencies can help in controlling the systems faster than in finitedimensional problems. In this BOUM SMAI project, we want to turn our attention to a related issue, which is the ensemble controllability problem: rather than controlling a single particle following an Hamiltonian system, one can control a density of particles which now follows the associated Liouville
equation. Researchers in geometric control methods for PDEs have started looking into this direction. In particular, we realized that geometric methods (such as Lie brackets associated to non-commutative flows), which we have recently developed to control Schrödinger and wave equations in small times, can be adapted to analyze Liouville transport equations, thanks to the symplectic structure of this PDE. During the research week at CIRM, we wish to start by translating our Lie brackets control strategy into the Poisson brackets formalism; we expect to obtain the small-time controllability between any couple of (integrable) positive densities.

Les propriétés de contrôlabilité d’équations aux dérivées partielles commandées par des lois de contrôle multiplicatives ont suscité beaucoup d’intérêt au cours des trois dernières décennies, en raison de leur importance technologique. L’équation de Schrödinger est un exemple naturel de ce type de dynamique, car en mécanique quantique, le couplage entre l’état et le potentiel apparaît naturellement sous une forme multiplicative. Il existe une vaste littérature mathématique, établie au cours des deux dernières décennies, concernant le contrôle multiplicatif (bilinéaire) des EDP de Schrödinger. En fait, le contrôle quantique joue un rôle fondamental dans le développement des technologies quantiques, et le lien entre la théorie et les expériences est réel. Cependant, très peu de choses sont connues concernant les propriétés de contrôlabilité en temps petit de ces systèmes. D’un point de vue intuitif, grâce au caractère non borné de l’opérateur de Laplace, les hautes fréquences peuvent aider à contrôler les systèmes plus rapidement que dans les problèmes de dimension finie. Dans ce projet BOUM de la SMAI, nous souhaitons porter notre attention sur une question voisine, à savoir le problème de la contrôlabilité d’ensemble : au lieu de contrôler une seule particule suivant un système hamiltonien, on peut contrôler une densité de particules qui suit maintenant l’équation de Liouville associée. Les chercheurs en méthodes de contrôle géométrique pour les EDP ont commencé à s’intéresser à cette question. En particulier, nous avons réalisé que certaines méthodes géométriques (telles que les crochets de Lie associées aux flots non-commutatifs), que nous avons récemment développées pour contrôler en temps petit les équations de Schrödinger et des ondes, peuvent être adaptées pour analyser l’équation de transport de Liouville, grâce à la structure symplectique de cette EDP. Pendant la semaine de recherche au CIRM, nous souhaitons commencer en traduisant notre stratégie de contrôle des crochets de Lie dans le formalisme des crochets de Poisson ; nous comptons obtenir la contrôlabilité en temps petit entre tout couple de densités positives (intégrables).

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