RESEARCH IN RESIDENCE
Simplex-Splines on triangles for Numerical
Simulation des Simplex-splines sur le triangle pour des simulations numériques
1 – 5 July, 2024
Participants
Jean-Louis Merrien (INSA de Rennes)
Francesca Pelosi (University of Siena)
Maria Lucia Sampoli (University of Siena)
Hendrik Speleers (Tor Vergata University of Rome)
Keywords: Triangular partition, Piecewise polynomials, Simplex-splines, Partial differential equations, Isogeometric analysis.
Splines over triangulations or tetrahedral partitions have applications in several branches of the sciences, such as finite element analysis (FEA), computer aided design (CAD), and other engineering problems. For several of these applications, C0 piecewise linear polynomials do not suffice. In some cases, one needs smoother elements for modeling, or higher polynomial degrees to increase the approximation order. The smoothness over a triangular/tetrahedral partition is obtained either by high degrees of polynomials or using smaller degrees when splitting the triangles into subtriangles.
In [4, 5, 6], a simplex-spline basis was constructed for spline spaces built on the Alfeld split with, successively, C1
smoothness on a triangulation, any smoothness on a triangulation, and C1 smoothness on a tetrahedral partition in any dimension. This is completed by Marsden identities that study the reproduction of polynomials, which are often used to compute errors in approximations.
On the other hand, isogeometric analysis (IgA) is a technology created about 15 years ago [3] with the aim to bridge the gap between CAD and FEA. The key concept in IgA is the development of a new isoparametric paradigm for FEA where the same basis functions used for geometry representations in CAD systems are adopted for the approximation of field variables.
In its original formulation, IgA is based on tensor-product B-splines and their rational version NURBS. Unfortunately, the tensor-product structure has some drawbacks. Some works have been proposed on triangulations, [7, 8].
Our aim is to investigate the use of the above mentioned spline spaces based on simplex splines as a tool in numerical simulation (within the IgA framework and for the design of Surfaces in CAD).
References
[1] P. Alfeld, A trivariate Clough-Tocher scheme for tetrahedral data, Comput. Aided Geom. Design, 1(1984), 169–181.
[2] R. W. Clough and J. L. Tocher, Finite element stiffness matrices for analysis of plate bending, in Proceedings of the conference on Matrix Methods in Structural Mechanics, WrightPatterson A.F.B., Ohio, 1965.
[3] T. J. R. Hughes, J. A. Cottrel, Y. Basilev; Isogeometric analysis: CAD, finite elements, NURBS, exact geometry and mesh refinement, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 194 (2005), 4135–4195.
[4] T. Lyche and J-L Merrien, Simplex-splines on the Clough-Tocher element, Comput. Aided Geom. Design 65 (2018), 76–92.
[5] Lyche, T., Merrien, JL, and T. Sauer, Simplex-Splines on the Clough-Tocher Split with Arbitrary Smoothness. In: Geometric Challenges in Isogeometric Analysis, Manni, C., Speleers, H. (eds) , Springer INdAM Series, vol 49. Springer, Cham. pp 85–121,2022.
[6] T. Lyche and J-L Merrien, A C 1 Simplex-Spline basis for the Alfeld split in R s, submitted
[7] H. Speleers, C. Manni, F. Pelosi, M. L. Sampoli; Isogeometric analysis with PowellSabin splines for advection-diffusion-reaction problems, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 221–222 (2012), 132–148.
[8] F. Pelosi, C. Giannelli, C. Manni, M.L. Sampoli, H. Speleers, Splines over regular triangulations in numerical simulation, Computer Aided Design 82 (2017), 100–111.
Mots clés: Réseau triangulaire, Polynômes par morceaux, Simplex-splines, Equations aux dérivées partielles, Analyse isogéometrique.
L’utilisation des splines sur une triangulation (ou en dimension supérieure sur un réseau de tétraèdres généralisés) a des applications dans plusieurs branches scientifiques, parmi lesquelles les éléments finis (Finite Element Analysis : FEA), la conception assistée par ordinateur (Computer Aided Design : CAD) et d’autres problèmes proposés par les ingénieurs. Pour la plupart de ces applications, des polynômes par morceaux C 0 de degré 1 ne sont pas suffisants. L’utilisateur peut souhaiter plus de régularité ou des degrés polynomiaux plus élevés pour accroître l’ordre d’approximation. La régularité sur le réseau triangulaire est obtenue soit par élévation du degré des polynômes utilisés, soit en utilisant des degrés plus petits mais en partitionnant les triangles en sous-triangles.
Dans [4, 5, 6], une base de simplex-splines est construite pour des espaces de splines, développées à partir de la subdivision de Alfeld. Successivement sont proposés la régularité C 1 sur une triangulation, une régularité quelconque sur une triangulation et la régularité C 1 sur un réseau de tétraèdres en dimension quelconque. Plus, à chaque fois, des identités de Marsden assurent la reproduction des polynômes permettant ainsi le calcul des erreurs d’approximation.
D’un autre côté, l’analyse isogéometrique (Isogeometric Analysis : IgA) est une technique crée il y a 15 ans environ, [3], avec pour objectif la création d’un pont entre CAD et FEA. Le concept clé en IgA est d’utiliser les mêmes fonctions de base pour la représentation de la géométrie (CAD) et pour l’approximation des solutions des équations différentielles sur cette géométrie (FEA). Au départ, l’IgA était basée sur le produit tensoriel de B-splines et de leurs extensions rationnelles, NURBS. Malheureusement le produit tensoriel a des défauts structurels. Et donc quelques travaux ont été proposés sur des triangulations, [7, 8].
Notre projet est d’étudier l’utilisation des espaces de splines cités (et des bases) ci-dessus comme outils dans des simulations numériques (avec les techniques de l’IgA et le dessin des surfaces en CAD).
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