L’étude des équations dispersives est l’un des champs de recherche les plus ac­tifs de la théorie moderne des EDP, du fait de leur origine physique et de leur riche structure mathématique. Les équations dispersives non linéaires appa­raissent souvent comme des modèles approchés de phénomènes physiques. À titre d’exemple, on peut mentionner les modèles de water  waves, l’équation de Korteweg-de Vries et l’équation de Schrodinger non linéaire.  Elles surgissent également en physique théorique comme  modèles-jouets de théories relativistes de champs en auto-interaction. Les équations sine-Gordon et ϕ⁴ en sont des ex­emples bien connus. En tant que sujet mathématique, l’étude des EDP disper­sives fait appel à la conjonction de diverses branches de l’analyse mathématique, les techniques employées étant issues de l’analyse harmonique, la théorie spec­trale, l’analyse géométrique, les systèmes dynamiques…

Du point de vue de l’analyse classique des EDP, le caractère bien posé (au sens de Hadamard) a été établi pour une vaste classe de problèmes.  Cepen­dant, malgré les avancées récentes, notre compréhension de la dynamique globale des solutions reste limitée.  Si la dispersion  est suffisamment  rapide, l’enjeu principal est la description de solutions de taille arbitraire, et tout partic­ulièrement de la formation de singularités. Pour de nombreux modèles, les solitons jouent un rôle majeur, comme dans la célèbre conjecture de résolution en solitons, mais leur comportement dynamique précis n’est connu que dans le cas des modèles complètement intégrables.  Une autre direction stimulante  de la recherche actuelle concerne le comportement en temps long des solutions de taille petite, ou des perturbations de solutions spéciales telles que les solitons, en présence d’une faible dispersion et de forts effets non linéaires.