RESEARCH IN RESIDENCE
Motives in deformation quantization
Motifs en quantification par déformation
6 – 10 May, 2024
Participants
Clément Dupont (Université de Montpellier)
Erik Panzer (University of Oxford)
Brent Pym (McGill University)
We propose a Research in Residence activity to address several foundational open problems concerning the Feynman integrals in the celebrated 1997 deformation quantization formula of Kontsevich [4], which constructs for any classical phase space (Poisson manifold) a noncommutative algebra of quantum observables.
The proposed activity builds off the article [1] of the proposed participants Panzer and Pym (together with their former summer student, Banks), which solved a long-standing problem in the subject: we proved that the Feynman integrals are expressible in terms of multiple zeta values, and gave the first algorithm/software for their explicit symbolic calculation.
The first phase of our collaboration has been going on for two years, featuring a very productive Research in Pairs activity at MFO Oberwolfach in 2022 which led us to develop general techniques in logarithmic algebraic geometry that are needed for the motivic interpretation of Kontsevich’s Feynman integrals. The two preprints [2, 3], which should be publicly available before the end of 2023, contain those first results.
Together, these works put us in a unique position to address several open conjec- tures of Kontsevich from the late 1990s and early 2000s, which concern the motivic properties of the Feynman integrals, their behaviour under a natural Galois action, and the decay properties needed to establish the convergence of his quantization formula in key examples. The proposed Research in Residence comes at a key moment of our collaboration: by bringing all three proposed participants together in person, it would allow us to flesh out our recently developed proposal for a rigorous motivic realization of Kontsevich’s Feynman integrals (leading to a joint paper) and to formulate a concrete roadmap to attack Kontsevich’s conjectures, thus kick-starting the next phase of our collaboration.
Nous proposons une activité de recherche en résidence pour aborder plusieurs problèmes ouverts fondamentaux concernant les intégrales de Feynman qui ap- paraissent dans la célèbre formule de quantification par déformation de 1997 de Kontsevich [4]. Celle-ci construit, pour tout espace de phase classique (variété de Poisson), une algèbre non commutative d’observables quantiques.
L’activité proposée s’appuie sur l’article [1] des participants Panzer et Pym (avec leur ancien étudiant en stage d’été, Banks), qui a résolu un problème ancien dans le domaine : nous avons prouvé que les intégrales de Feynman s’expriment en termes de valeurs zêta multiples, et nous avons donné le premier algorithme/logiciel pour leur calcul symbolique explicite.
La première phase de notre collaboration dure depuis deux ans, avec notamment un séjour “Research in pairs” très productif au MFO Oberwolfach en 2022. Celui- ci nous a permis de développer des techniques générales en géométrie algébrique logarithmique, nécessaires pour l’interprétation motivique des intégrales de Feynman qui apparaissent chez Kontsevich. Les deux preprints [2, 3], qui devraient être disponibles avant la fin 2023, contiennent ces premiers résultats.
Ensemble, ces travaux nous placent dans une position unique pour aborder plusieurs conjectures de Kontsevich datant de la fin des années 1990 et du début des années 2000, qui concernent les propriétés motiviques des intégrales de Feynman, leur comportement sous une action galoisienne naturelle, et les propriétés de décroissance nécessaires pour établir la convergence de sa formule de quantification dans des exemples cruciaux. L’activité proposée de recherche en résidence arrive à un moment clé de notre collaboration : en réunissant les trois participants en personne, elle nous permettrait de développer notre proposition pour une réalisation motivique rigoureuse des intégrales de Feynman apparaissant chez Kontsevich (menant à un article en collaboration) et de formuler une feuille de route concrète pour attaquer les conjectures de Kontsevich, lançant ainsi la prochaine phase de notre collaboration.
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