RESEARCH IN RESIDENCE
Domain decomposition for optimal control problem
Décomposition de domaine pour des problèmes de contrôle optimal
16 – 20 October, 2023
Participants
Pierre-Henri Cocquet (Université de Pau et des pays de l’Adour)
Martin Gander (University of Geneva)
Alexandre Vieira (University of La Reunion)
This project is a follow-up of the Chaire Jean Morlet entiltled ”Numerical Methods for PDEs: Discretization, Iterative Solution & Parallelization” granted to Martin J. Gander from july to december 2022.
The goal of this project is to develop new domain decomposition methods for PDE constrained optimization problems. Classically, one follows an ”optimize-then decompose” approach, i.e. one forms the first order optimality conditions and then applies a classical domain decomposition to them.
During the Morlet Chair, we started to investigate the new ”decompose-then optimize” approach whose main idea is to directly decompose the optimization problem, and to add continuity constraints, which are then handled by different optimization techniques. During the Morlet Chair, we applied this approach to a linear-quadratic optimization problem where the continuity constraints on the artificial interfaces are dealt with using an augmented Lagrangian method. This led to a new domain decomposition method for such problems, and we studied its convergence properties.
The main advantage of the ”decompose-then-optimize” approach is the great variety of methods in optimization with which the decomposed optimization problem can be solved, and each leads to a new domain decomposition methods for such problems, with unknown convergence properties. Our goal is to investigate, from a theoretical and numerical point of view, some of these new domain decomposition methods, and to find links between them and classical ones applied directly to the first order optimality systems.
Ce projet fait suite à la Chaire Jean Morlet intitulée ”Méthodes numériques pour les EDP : discrétisation, solution itérative, parallélisation” dont Martin J. Gander était le récipiendaire de juillet à décembre 2022.
Dans ce projet, nous proposons d’étudier des méthodes de décomposition de domaine pour des problèmes d’optimisation où les contraintes sont données par des équations aux dérivées partielles (EDP). La plupart des études actuelles sont basées sur une approche du type ”optimiser-puis-décomposer” qui consiste à construire et analyser des méthodes de décomposition de domaine sur les conditions nécessaires d’optimalité du premier ordre du problème d’optimisation.
Pendant la chaire Morlet, nous avons commencé à développer une nouvelle approche appelée ”décomposer-puis-optimiser”. Elle consiste à décomposer par sous-domaine les EDPs agissant en tant que contraintes puis à traiter ces nouvelles contraintes avec différentes techniques d’optimisation. Avec cette approche, nous avons traité en détail le cas d’un problème d’optimisation linéaire quadratique où les conditions de continuité à l’interface fictive sont traitées avec une méthode de Lagrangien augmenté. Ceci donne une nouvelle méthode de décomposition de domaine, dont nous avons étudié entre temps les propriétés.
Un grand avantage du ”décomposer-puis-optimiser” est la multitude de variantes quant aux choix possibles permettant de décomposer les contraintes par sous domaine et de les traiter par des techniques d’optimisation. Chaque approche donne un nouvel algorithme de décomposition de domaine pour ce type de problème, avec des propriétés encore inconnues. L’objectif principal de ce projet est d’étudier, aussi bien théoriquement que numériquement, les propriétés de certaines de ces variantes, et de trouver un lien entre ces variantes et des méthodes de décomposition de domaine directement appliquées aux équations d’optimalité de première ordre.
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