Les interactions entre la théorie des espaces de fonctions analytiques et la théorie des opérateurs trouvent ses racines dans le travail pionnier de Beurling qui a introduit l’espace de Hardy H2, une représentation analytique de ℓ2, afin de caractériser le treillis des sous-espaces invariants pour l’opérateur de translation. Ceci a donné lieu à l’espace modèle KΘ = H2 ΘH2, aux fonctions intérieures et aux fonctions extérieures.
   Après ce travail de Beurling, une théorie entière s’est développée autour des opérateurs classiques sur l’espace H2, tels que les opérateurs de multiplication (dont l’opérateur de décalage à droite est un exemple) et leurs cousins, les opérateurs de Toeplitz (comme par exemple l’opérateur de décalage à gauche) et de Hankel, les opérateurs de composition, les opérateurs de plongements,… Un important champ de recherche sur les espaces de fonctions analytiques concerne également la géométrie des noyaux reproduisants (interpolation, échantillonnage, suites d’unicité, suites de zéros,…). Tous ces sujets trouvent leur analogue naturel dans d’autres espaces de fonctions analytiques, tels que l’espace de Fock, l’espace de Bergman et l’espace de Dirichlet qui ont attiré beaucoup d’attention dans les dernières décennies, en révélant des propriétés parfois surprenantes (par exemple, les espaces de Bergman apparaissent comme les espaces atteignables dans certains problèmes de théorie du contrôle).
   Les espaces modèles mentionnés ci-dessus sont des généralisations des espaces de de Branges de fonctions entières, qui sont étroitement reliés aux applications puisqu’ils apparaissent naturellement connectés aux équations de Sturm–Liouville. En particulier, mentionnons l’espace de Paley–Wiener correspondant à une équation de Sturm–Liouville avec un potentiel qui s’annule et qui est un cas particulier d’espaces modèles. Il est bien connu que cet espace joue un rôle clé aussi bien en théorie du signal qu’en théorie du contrôle. Les espaces modèles eux-même se généralisent d’une manière naturelle en donnant naissance aux espaces de de Branges–Rovnyak, qui ont attiré beaucoup d’intérêt ces dernières décennies et pour lesquels de nombreux problèmes difficiles demeurent ouverts. La riche structure de tous ces espaces a été étudiée depuis plus d’un siècle par les plus grand(e)s mathématicien(ne)s et continue de se développer comme le démontre par exemple les récentes avancées en lien avec la propriété de Pick–Nevanlinna complète (en particulier, notons le résultat de M. Hartz sur la propriété ”colonne-ligne” et ses applications aux points extrêmes dans les espaces de de Branges–Rovnyak de la boule (Acta Math. 2022)). Les applications des espaces de fonctions analytiques à des champs tels que l’ingénierie, la théorie du contrôle, la théorie du signal, la théorie de la communication et même la physique quantique,… font d’eux des objets d’une importance capitale.
   Cette conférence est centrée autour des progrès récents concernant les espaces de Hilbert et de Banach de fonctions analytiques et des opérateurs agissant sur ces espaces. Cette rencontre s’inscrit dans le prolongement d’une série de conférences organisées ces dernières années au Canada et en France : Centre de Recherche de Mathématiques à Montreal CRM (2008, 2011, 2013), à l’Institut Fields (2011 et 2022), CIRM (2019 et 2021).