RESEARCH IN RESIDENCE
K-stability of pointless Fano threefolds
K-stabilité des 3-variétés de Fano sans points
20-31 May, 2024
Participants
The fabric of modern geometry is designed around questions that lead to the existence of canonical metrics on manifolds. A classical example is the Riemannian metrics with constant Gauss curvature on Riemann surfaces. The higher dimensional analogue sparks the hope of finding an “Einstein metric” on a given manifold. When the manifold in question is Kähler, then the desired metric is called Kähler-Einstein.
Manifolds can be simplified to have positive or negative curvature, or be flat. The existence of a Kähler-Einstein metric when the curvature is negative or flat is known, thanks to the celebrated work of Aubin and Yau. The existence of such metric is obstructed in the positive curvature case. Due to the pioneering work of Chen, Donaldson and Sun we know that a Fano manifold admits a Kähler–Einstein metric if and only if it is K-polystable.
It is generally difficult to verify such stability condition for a given Fano variety. However, major progress has been made in recent years following a breakthrough by Abban and Zhuang, but several challenging cases remain to be solved.
We aim to address some of these challenges, notably in the case of prime Fano 3-fold of genus 12 (the most stubborn Fano variety), by studying K-stability for complex Fano 3-folds with no real points. This will enable new discoveries in light of Donaldson conjecture as well as new fruitful connections to arithmetic geometry.
La géométrie algébrique moderne se construit autour de questions concernant l’existence de métriques canoniques sur les variétés. Un exemple classique est l’existence de métriques à courbure constante sur les surfaces de Riemann. L’analogue en dimension supérieure est la recherche d’une « métrique d’Einstein » sur une variété donnée. Lorsque la variété en question est Kähler, alors la métrique espérée est appelée Kähler-Einstein.
Les variétés peuvent être simplifiées pour avoir une courbure positive ou négative, ou être plates. L’existence d’une métrique de Kähler-Einstein lorsque la courbure est négative ou plate est connue, grâce au travaux célèbres d’Aubin et Yau. L’existence d’une telle métrique est obstruée en courbure positive. Grâce aux travaux pionniers de Chen, Donaldson et Sun, on sait que une variété de Fano admet une métrique de Kähler-Einstein si et seulement si elle est K-polystable.
Il est en général difficile de vérifier une telle condition de stabilité pour une variété de Fano donnée. Cependant, des progrès majeurs ont été accomplis ces dernières années à la suite d’une percée due à Abban et Zhuang, mais plusieurs cas difficiles restent à résoudre.
Nous visons à relever certains de ces défis, notamment dans le cas de la 3-variété de Fano de genre 12 (la plus têtue des variétés), en étudiant la K-stabilité des 3-variétés de Fano sans points réels. Cela permettra de nouvelles découvertes à la lumière de la conjecture de Donaldson ainsi que de nouvelles connexions fructueuses avec la géométrie arithmétique.
SPONSOR
